热扩散方程的一个运用

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1、热扩散方程的一个运用摘要偏微分方程曾被用于图像分析，基于偏微分方程的图像处理,需要相应算法迭代的停止点，即在该点得到的图像相比于原始图像更清晰，且往后继续迭代不会得到更清晰的图像。本文运用热扩散方程解去除数字信号中的噪声。在一个R上的有界区域?%R,运用解偏微分方程数值解的方法处理数字信号。关键词有限差分法热扩散方程噪声中图分类号：TP301.6文献标识码：AAuseofIlealDiffusionEquationZHANGLuping(InstituteofPublicTeaching,JiangxiScienceandTechnologyUniversity,NanChang,

2、Jiangxi330098)AbstractPartialdifferentialequationonceusedtoanalyzeimagines・Imagineprocessingbasedonpartialdifferentialequationsneedsthecorrespondingalgorithmbywhichwegetstoppointofiteration.Theimagineatthispointisclearerthantheimaginebeforethepointandtheimaginebeforethepoint.Inthispaper,wewi11

3、useHeatDiffusionequationtoinvestigationhowtoremovethenoiseindigitalsignals・Wedealwithdigitalsignals,viaPartialDifferentialEquationapproachonaboundeddomain?%RofR.Keywordsfinitedifferencemethods；heatdiffusionequation；noisereductiono引言随着科技的发展，人们已经不局限于直接用眼睛去看外面的世间，摄影机和电脑等机器视觉代替人眼对目标进行识别、跟踪和测量，并进一步

4、做图像处理。在过去的若干年，数字信号处理发展迅速，其运用已分布到各行各业，用电脑处理数字信息已成为更适合人眼观察或一传送给仪器检测的图像。①不过，图像在生成、传输或变换的过程中，受光源性能、成像系统性能和噪声等诸多因素的影响，往往会出现清晰度下降、动态范围不足、包含噪声等降低图像质量的现象。为了后续的处理和分析，往往需要进行图像复原或图像增强的处理。②偏微分方程，线性滤波法和小波法都曾被用于图像复原，其中偏微分方程还被用于图像分析。图像增强方法根据处理目的和效果又可分为平滑和锐化，图像平滑主要目的是为了消除噪声。一般来说，图像的能量主要集中在其低频部分，而图像的噪声、边缘轮廓及局部

5、细节主要取决于高频部分。图像平滑保持或加强了图像中的低频成分，削弱或消除图像中的高频成分，一个好的平滑算法在消除噪声的同时，同时避免使图像的边缘轮廓和线条变得模糊。③本文将通过偏微分方程法研究图像处理，图像处理可分为三个部分；图像压缩，图像复原和图像分析，这里做的研究涉及的是图像复原。在实际中，当做图像处理时没有原始图像，基于偏微分方程的图像平滑技术，需要计算机迭代的停止点，即在该点得到的图像相比于原始图像更清晰，且往麻继续迭代不会得到更清晰的图像。1模型在作图像处理前，关于所用到的偏微分方程需要考虑以下几点：（1）为偏微分方程提供一个好且稳定的有限差分图；（2）可得到迭代停止点;

6、（3）依图像运用均匀和非均匀网格。在接下来两章中将逐个探讨以上各点，考虑R中的有界区域?%R,带有光滑边界□?%£将信号定义为一个随时间和空间变动的量，并运用模拟信号的样本，具体步骤如下：（1）离散化，将连续模型变为离散的等价式；（2）量化，将输入值得人集合映射到相对小的集合。本文将仅用数？信号，跳过模拟信号的数字化过程，目标是举一个跳跃间断的例子，主要着眼点是去除信号中的噪声，噪声去除的过程将通过偏微分方程方法。由于不考虑图像的形状，图像的平滑结果等价于传导系数为常量的热扩散方程二，其中是一个常数，7而表示某一数字信号。通过运用热方程的一维形式将上述信号中的噪声去除，需要有限差分

7、格式的紧性，稳定性和一致性，关于紧性可以运用如下定理。定理：Lax等价定理一个适定的线性初值问题的一致二阶无分格式是紧的当且仅当其是稳定的。④研究如何将偏微分方程运用到去除信号中的噪声，是热力学扩散常数，考虑=1的情形，热方程的光滑能力表现只有满足有限差分格式的的稳定性。2方法为了简化计算，将时间和空间均匀离散化，定义：二(?IIU,?IIU),由导数的定义，如果足够光滑，那么英在点附近可近似为~+()基于错误项分解为傅立叶级数的黎曼稳泄性分析，要满足此数值方法的紧性