有广义对角占优系数矩阵的齐次线性方程组

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1、有广义对角占优系数矩阵的齐次线性方程勺张晓东杨尚骏(安徽大学数学系•合肥230039)HOMOGENEOUSLINEAREQUATIONSWITHGENERALIZEDDIAGONALLYDOMINANTCOEFFIENTMATRICESZhangXiaodongYangShangjun(AnhuiUniversity)AbstractInthispaperweinvestigatethesolutionsofahomogeneouslinearsystem・Ajt—09whereAisageneralizeddiagonallydominantcomplexsqua

2、rematrix.WeprovethatifAissingularandirreducible,then(a),anytwosolutionsofAr=0arelinearlydependent；(b)>anynonzerosolution工=(丁】,ofthelinearsystemsatisfies工工0打=1•…andM(A)

3、x

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10、)TA)isthecomparisonmatrixofAwhichisanM-matrixwithnullity1；and(c).apositivesolutionofMCA)can

11、becomputedbyPowerMethod.KeywordsGeneralizeddiagonallydominanttirreducibletM-matrices^comparisonmatrices.AMSC1991)subjectclassifications154.中图法分类号O175・9・1引言与定义本文限于考虑无零行零列的nXn,(n>2)复矩阵.我们采用以下记号：N={1,2.-,小&=SI勺l；G=SM=R：C^~iWN底［O.W表示S有全部非正的非对角元的nXn实方阵.定义1复方阵&称为Ostrowski对角占优，如果对某有收槁日期I1995—

12、01—02.M^SMV/6N,(1)A称为严格Ostrowski对角占优，如果(1)中全部成立严格不等式.A称为Brauer对角占优,如果

13、如>KiVjS(2)A称为广义对角占优，如果对某«€［0,1］有..lq,a力I>S,(a)S/(a),V1

14、否则称为不可约・A是不可约的等价于对任意有」…山WN,使得角4,妆・・・％>H0.本文主要研究对象为齐次线性方程组*Ax=0,(4)其中4为奇异不可约夏方阵・我们需要下列经典结果，Bettei•定理⑶设4为不可约奇异对角占优的复方阵，则

15、oJ=R,ViENi且方程(4)任一解丁的分量模数全相等.Ostrowski定理⑶严格Ostrowski对角占优的复方阵是可逆的.定理M(关于M-矩阵的定理尸】(/).BGZ,为M-矩阵当且仅当B的每个主子式非负.G7).BWZ.为可逆M-矩阵当且仅当B的每个主子式为正，或B有全部正对角元•并存在正对角矩阵D使BD为严格对角占优.(沁

16、;B为M-矩阵当且仅当对任意€>0,3+比为可逆的M-矩阵.(帀)・n阶不可约奇异M-矩阵A的秩为n-1,且存在正向量工使得缶=0.2预备定理对已知矩阵A=(旬)，令%=

17、砌

18、?%=—1夠1»V所得矩阵(％)称为A的比较矩阵，记为MG4)・显然MG4)WZ・・•引理1严格Ostrowski对角占优矩阵S的比较矩阵MG4)是非奇异M-矩阵・证明对每个圧［0,l］,M(C=/M(4)+(l—CdiagG«H，・・・"“)显然也是严格Ostrowski对角占优，故由Ostrowski定理知detM(z)H0・又因detM(f)是闭区间［0,1］上t的连续函数，故detMU

19、)在此区间上保持符号不变.但detM(0)=机门・・".>0,所以detM(A)=detM(l)>0・因M(A)的任一主子矩阵也是严格Ostrowski对角占优，所以MG4)的每个主子式都大于0,从而由定理M知MG4)为可逆的M-矩阵・引理2若>1为奇异广义对角占优矩阵，且A的主对角元全不为0,则存在正对角矩阵D使得DAD为Ostrowski对角占优矩阵.’证明令$=鲁'疋N,则S"0,SSj=勺驚梓SV!<«.设2・・・2S,.,其中届，…人为1,2.・・・皿的一个排列.若S气=0,则$=0,疋N-%}.从而S,(a)=&C厂・=0,V疋于