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时间:2019-10-23
《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习 第4讲 定积分的概念与微积分基本定理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第4讲定积分的概念与微积分基本定理一、选择题1.以初速度40m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为( ).A.mB.mC.mD.m解析 v=40-10t2=0,t=2,(40-10t2)dt==40×2-×8=(m).答案 A2.已知f(x)=2-
2、x
3、,则-1f(x)dx等于( ).A.3B.4C.D.解析 f(x)=2-
4、x
5、=∴-1f(x)dx=-1(2+x)dx+(2-x)dx=+=+2=.答案 C3.函数f(x)满足f(0)=0,其导函数f′(x)的图象如图所示,则f
6、(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( ).A.B.C.2D.解析 由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数,且对称轴为x=-1,开口方向向上.设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),由f(0)=0,得c=0.f′(x)=2ax+b,因过点(-1,0)与(0,2),则有∴∴f(x)=x2+2x,则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S=-2(-x2-2x)dx==×(-2)3+(-2)2=.答案 B4.已知a=2,n∈N*,b=x2dx,则a,b的大小关系是( ).A.a>bB.a=bC.a
7、D.不确定答案 A5.下列积分中①dx;②-2xdx;③dx;④∫0dx,积分值等于1的个数是( ).A.1B.2C.3D.4解析 ①=1,②=0,③dx=(π22)=1,④∫0dx=∫0(cosx+sinx)dx=(sinx-cos)
8、0=1.答案 C6.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( ).A.B.C.D.解析 依题意知,题中的正方形区域的面积为12
9、=1,阴影区域的面积等于(-x2)dx==,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,选D.答案 D二、填空题7.如果10N的力能使弹簧压缩10cm,为在弹性限度内将弹簧拉长6cm,则力所做的功为______.解析由F(x)=kx,得k=100,F(x)=100x,100xdx=0.18(J).答案0.18J8.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形的面积为____________.答案 -ln29.已知f(x)=若f(x)dx=(k<2).则k=________.解析 f(x)dx=(2x+1)dx+(1+x2)dx=,所以得
10、到k2+k=0,即k=0或k=-1.答案 0或-110.设f(x)=xn+ax的导函数为f′(x)=2x+1且f(-x)dx=m,则12展开式中各项的系数和为________.解析 因为f(x)=xn+ax的导函数为f′(x)=2x+1.故n=2,a=1.所以f(-x)dx=(x2-x)dx===m所以12展开式中各项的系数和为12=1.答案 1三、解答题11.已知f(x)是一次函数,且f(x)dx=5,xf(x)dx=,求dx的值.解 ∵f(x)是一次函数,∴可设f(x)=ax+b(a≠0).∴f(x)dx=(ax+b)dx
11、==a+b.∴a+b=5.①又xf(x)dx=x(ax+b)dx==a+b.∴a+b=.②解①②得a=4,b=3,∴f(x)=4x+3,∴dx=dx=dx=(4x+3lnx)=4+3ln2.12.如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.解 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,所以,抛物线与x轴所围图形的面积S=(x-x2)dx==.又抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k,所以,=∫(x-x2-kx)dx==(1-k)3.又知S=
12、,所以(1-k)3=,于是k=1-=1-.13.在区间[0,1]上给定曲线y=x2.试在此区间内确定点t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小,并求最小值.解 面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积,即S1=t·t2-x2dx=t3.S2的面积等于曲线y=x2与x轴,x=t,x=1围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为t2,1-t,即S2=x2dx-t2(1-t)=t3-t2+.所以阴影部分面积S=S1+S2=t3-t2+(0≤t≤1).令S′(t)=4t2-2t=4t=0时
13、,得t=0或t=.t=0时,S=;t=时,S=;t=1时,S=.所以当t=时,S最小,且最小值为.14.已知二次函数f(x)=3x2-3x,直线l1:x=2和l2:y=3tx(其中t为常数,且0
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