2016届《步步高》高考数学大一轮总复习 第4讲 定积分的概念与微积分基本定理

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1、第4讲定积分的概念与微积分基本定理一、选择题1．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)．A.mB.mC.mD.m解析　v＝40－10t2＝0，t＝2，(40－10t2)dt＝＝40×2－×8＝(m)．答案　A2．已知f(x)＝2－

2、x

3、，则－1f(x)dx等于(　　)．A．3B．4C.D.解析　f(x)＝2－

4、x

5、＝∴－1f(x)dx＝－1(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.答案　C3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f

6、(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为(　　)．A.B.C．2D.解析　由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因过点(－1,0)与(0,2)，则有∴∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S＝－2(－x2－2x)dx＝＝×(－2)3＋(－2)2＝.答案　B4．已知a＝2，n∈N*，b＝x2dx，则a，b的大小关系是(　　)．A．a>bB．a＝bC．a

7、D．不确定答案　A5．下列积分中①dx；②－2xdx；③dx；④∫0dx，积分值等于1的个数是(　　)．A．1B．2C．3D．4解析　①＝1，②＝0，③dx＝(π22)＝1，④∫0dx＝∫0(cosx＋sinx)dx＝(sinx－cos)

8、0＝1.答案　C6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是(　　)．A.B.C.D.解析　依题意知，题中的正方形区域的面积为12

9、＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.答案　D二、填空题7．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为______．解析由F(x)＝kx，得k＝100，F(x)＝100x，100xdx＝0.18(J)．答案0.18J8．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为____________．答案　－ln29．已知f(x)＝若f(x)dx＝(k<2)．则k＝________.解析　f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx＝，所以得

10、到k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1.答案　0或－110．设f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1且f(－x)dx＝m，则12展开式中各项的系数和为________．解析　因为f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝＝m所以12展开式中各项的系数和为12＝1.答案　1三、解答题11．已知f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值．解　∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．∴f(x)dx＝(ax＋b)dx

11、＝＝a＋b.∴a＋b＝5.①又xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝＝a＋b.∴a＋b＝.②解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，∴dx＝dx＝dx＝(4x＋3lnx)＝4＋3ln2.12．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝(x－x2)dx＝＝.又抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，＝∫(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3.又知S＝

12、，所以(1－k)3＝，于是k＝1－＝1－.13．在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．解　面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－x2dx＝t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0时

13、，得t＝0或t＝.t＝0时，S＝；t＝时，S＝；t＝1时，S＝.所以当t＝时，S最小，且最小值为.14.已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且0