2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第4讲-定积分的概念与微积分基本定理.doc

《2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第4讲-定积分的概念与微积分基本定理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第4讲定积分的概念与微积分基本定理一、选择题1．(ex＋2x)dx等于(　　)A．1　　　　　　　　　　B．e－1C．eD．e＋1解析∵(ex＋x2)′＝ex＋2x，∴(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)

2、＝(e1＋12)－(e0＋0)＝e.答案C2．已知f(x)＝2－

3、x

4、，则－1f(x)dx等于(　　)．A．3B．4C.D.解析　f(x)＝2－

5、x

6、＝∴－1f(x)dx＝－1(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.答案　C3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为(

7、　　)．A.B.C．2D.解析　由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因过点(－1,0)与(0,2)，则有∴∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S＝－2(－x2－2x)dx＝＝×(－2)3＋(－2)2＝.答案　B4．若dx＝3＋ln2(a>1)，则a的值是(　　)．A．2B．3C．4D．6解析　dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，即a＝2.答案　A5．

8、曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为(　　)A．2－ln2B．4－2ln2C．4－ln2D．2ln2解析y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的面积为如图所示的阴影部分，[来联立得在第一象限的交点为(2,1)，故所求面积为dx＝＝4－2ln2.答案B6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是(　　)．A.B.C.D.解析　依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，

9、阴影区域的面积等于(－x2)dx＝＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.答案　D二、填空题7．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.解析　S＝dx＝＝a＝a2，∴a＝.答案　8．已知f(x)＝若f(x)dx＝(k<2)．则k＝________.解析　f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx＝，所以得到k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1.答案　0或－19．设f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1且f(－x)dx＝m，则12展开式中各项的系数和为________．解

10、析　因为f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝＝m所以12展开式中各项的系数和为12＝1.答案　110．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析(构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从

11、而a≥4.[来源:学§科§网]当x＜0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.g(x)在区间[－1,0)上单调递增，∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.答案4三、解答题11．已知f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值．解　∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．∴f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝a＋b.∴a＋b＝5.①又xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝＝a＋b.∴a＋b＝.②解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，∴dx＝dx＝dx＝(4x＋3lnx)＝4＋3l

12、n2.12．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝(x－x2)dx＝＝.又抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，＝∫(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3.又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－＝1－.13．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值

13、．解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得即∴f(x)＝ax2＋2－a.又f(x)dx＝(a