2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教A版，理科） 第6讲 正弦定理和余弦定理

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1、第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　A．135°B．105°C．45°D．75°解析　由正弦定理知＝，即＝，所以sinA＝，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案　C2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为(　　)．A．60°B．90°C．120°D．150°解析　由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b

2、2－2abcosC，∴cosC＝－，∴C＝120°.答案　C3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝(　　)．A.B.C.D．2解析　∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.又a＝1，b＝，∴＝，∴sinA＝＝×＝，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝×1×＝.答案　C4．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)．A.B.C.D.解析　设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2＝c2

3、＋BC2－2BC·ccos60°，即7＝c2＋4－4ccos60°，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin60°＝3×＝，故选B.答案　B5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是(　　)A．0B．1C．2D．无数个解析直接根据正弦定理可得＝，可得sinB＝＝＝>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案A6．已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于(　　)．A．3＋B．3C．2＋D.解析　

4、由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积为acsin＝，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋，故选A.答案　A二、填空题7．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．解析　在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴cosC＝，∴sinC＝；在△ADC中，由正弦定理得，＝，∴AD＝×＝.答案　8．已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_____

5、___．解析　依题意得，△ABC的三边长分别为a，a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：＝－.答案　－9．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．解析　x＝＝＝sinA＋cosA＝sin.又A∈，∴

6、,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC＝BC，得＝，化简得(x－3)2＋y2＝8，即C在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动，所以S△ABC＝·

7、AB

8、·

9、yC

10、＝

11、yC

12、≤2，故答案为2.答案　2三、解答题11．叙述并证明余弦定理．解　余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，法一　如图(1)，图(1)a2＝·＝

13、(－)·(－)＝2－2·＋2＝2－2

14、

15、·

16、

17、cosA＋2＝b2－2bccosA＋c2，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.法二　图(2)已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图(2)则C(bcosA，bsinA)，B(c,0)，∴a2＝

18、BC

19、2＝(bcosA－c)2＋(bsinA)2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝c

20、2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝，求△ABC的面积．解　(1)因为0＜A＜π，cosA＝，得sinA＝＝.又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝cosC