高考数学大一轮总复习 第3篇 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用课件 理 新人教A版.ppt

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1、第6节正弦定理和余弦定理及其应用基础梳理1．正、余弦定理b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2RsinB2RsinCsinB定理正弦定理余弦定理解决的问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边质疑探究1：在三角形ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的什么条件？“A>B”是“cosA

2、osB”的什么条件？提示：在三角形ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，“A>B”是“cosAc2”是“△ABC为锐角三角形”的什么条件？提示：“a2＋b2c2”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．3．解三角形在测量中的常见题型(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度

3、问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(2)有关测量中的几个术语①仰角和俯角：与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(1)所示)答案：D2．(2013年高考陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案：B答案：32考点突破利用正、余弦定理解三角形[思维导引](1)在Rt△

4、BPC中求出∠PBC，从而求出∠PBA.然后在△PBA中利用余弦定理求解即可．(2)设∠PBA＝α，表示出∠PAB，∠PCB，△PBC中表示出PB，然后在△PAB中由正弦定理求解即可．利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理，有时需结合图形分析求解，有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角定理等确定解的个数．[例2](2013年高考新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△AB

5、C面积的最大值．[思维导引](1)利用正弦定理将已知等式转化为关于角的关系式，结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简求B.(2)结合余弦定理、基本不等式及三角形面积公式求解．与三角形面积有关的问题利用正、余弦定理判定三角形形状依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时

6、要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．即时突破3(2012年高考上海卷)在△ABC中，若sin2A＋sin2B

7、解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．即时突破4如图所示，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．(1)求A、C两岛之间的距离；(2)求∠BAC的正弦值．解：(1)在△ABC中，由已知，得AB＝10×5＝50(海里)，BC＝10×3＝30(海里)，∠ABC＝180°

8、－75°＋15°＝120°，由余弦定理，得AC2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4900，所以AC＝70(海里)．故A、C两岛之间的距离是70海里．分析：(1)在△ABC中A＋C＝π－B，利用诱导公式及三角恒等变换公式化简整理即可．(2)由正弦定理及三角形中“a>b⇔A>B”解出B，再由余弦定理求出边c，最后利用向量投影公式求解即可．命题意图：本题主要考查了三角恒等变换，利用正、余弦定理解三角形和