资源描述：
《高中数学1.3圆锥截线1.3.1球的性质（2）知识导航学案苏教版选修4-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.3.1球的性质（第二课时）自主整理1.若平面a与球0相切，切点为M,则平面a内经过M的直线都与球0,平面a内不经过M的直线都与球0・2.从球外一点可以引球的条切线，所有的切点组成球的一个.3.球外一点向球引的切线长相等.4.圆柱面与球相切，切点组成球的，该大圆所在平面与圆柱的轴.5.圆锥面与球相切，切点组成一个球的,该小圆所在的平面与圆锥的轴高手笔记1.如何判定直线与球的位置关系？答：设球心0到直线1的距离为d,球的半径为R,则①若d>R,则直线与球相离；②若d二R,则直线与球相切；③若d〈R,则直线与球相交.2.过球面上
2、一点M,如何作出球的切线？切线有多少条？答：只需连结0M（即球的半径），然后过M点作直线1丄0M即可得直线1与球相切.这样的切线1有无数条，它们的集合恰好是过M点球的切面.3.球与圆柱面相切和球与圆锥面相切有什么相同点和不同点呢？答：不同点：球与圆柱而相切，切点组成大圆，球与圆锥面相切，切点组成小圆.相同点：切点都组成一个圆，且该圆都与圆柱面或圆锥血的轴垂直.名师解惑1.过球外一点引球的切线，则切线长如何求？剖析:设球心0到球外一点P的距离为d,球的半径为R,则切线长PT二如冷2.若球与圆柱面相切，对于圆柱面上任意一点P,点P
3、所在的母线1’与球切于点C',则PC'是球的一条切线，若从P向球任引一条切线PT,切点为T,则PT与PC'有什么关系？剖析:PT二PC'.3.若球与圆锥面相切，则从圆锥面上任取一点B,过B点的圆锥的母线VB与球切于S,过B作球的切线BT,切点为T,则这条切线有什么性质？剖析:这样的切线BT能作无数条，但BS是所有从B引出的球0的切线中唯一的在圆锥面上的切线，且有BT二BS.讲练互动【例1】求证：若平而a与球0相切，切点为则平面a内经过M的直线都与球0相切,平面a内不经过M的直线都与球0相离.图1.3-11分析：要证明直线与球而
4、相切，只须证明d=R；要证明直线与球面相离，只须证明d>R.证明：如图1.3-11,因为平面«与球0相切于点M,所以0M丄平面a.设平面a内的直线3经过M,则0M丄直线a,即0M是点0与直线a的距离.所以直线8与球相切.而对于平面上不过M的直线b,作出0与直线b的距离ON,由于ON>OM,故b与球0相离.绿色通道本题除了利用d与R的大小关系来判断直线与球的位置这个方法之外，也可以利用直线与球面的交点的个数来判断直线与球的位置关系；具体方法如下：由于平面a与球0只有唯一公共点M,平面a内的点除M外都在球0外，故直线a上的点除M在
5、球上外，其余的点都在球外，即直线与球只有唯一公共点，故直线与球相切.而平面□内不过M的直线上所有的点都在球0外，故直线与球0相离.变试训练1.求证：当直线1与球0相离吋，经过1可以作一个平面与球0相切.证明：过0作0A丄1,垂足为A,设1与0点确定的平面为a,过0A与a垂直的平面设为B,过A点在B内作球的切线AB,切点为B,则1与AB确定的平面Y即与球相切，下面证明这一点：因为1丄A0且11AB,故1丄平面0,又T1呈y,・・・B丄Y，过0作平面Y的垂线，垂足一定在B与丫的交线AB上，由上面的作法知，垂足为B且B在球面上，故球
6、心到平面丫的距离d=OB=R.即d=R,故平而Y与球0相切.（如图所示）【例2】求证：圆柱面与球相切，切点组成球的大圆，该大圆所在的平面与圆柱的轴垂直.分析：利用圆柱面与球的形成过程证明.证明：如图1.3-12,如果取一个半圆0,并过与半圆直径AB垂直的半径0C外端作半圆的切线1.这吋，半圆与直线1绕AB旋转就分别得一个球和一个圆柱，直线1不论旋转到什么位置都与球相切，而且过切点的球半径始终与轴AB垂直，从而所有的切点都在过球心0且与轴AB垂直的平面上，即切点组成了球的大圆，且该大圆所在的平面与圆柱的轴垂直.这时圆柱面与球相切
7、.绿色通道本题的证明方法是利用平面内的直线与半圆相切，然后通过旋转，把平血内的相切推广到空间中的相切关系.变试训练2.求证：圆锥面与球相切，切点组成一个球的小圆，该小圆所在平面与圆锥的轴垂直.证明：如图所示，如果取一个半圆0,并过与半圆直径不垂直的半径0P外端作半圆的切线『，这时，半圆与直线1’绕半圆直径所在直线1旋转就分别得一个球和一个圆锥面，直绕1’不论旋转到什么位置都与球相切，过P点作1的垂面n',设平面jt'与1的交点为Q,则PQ丄1,当点P绕1旋转时，由于PQ始终与1垂直，从而PQ始终在平面"内运动，从而切点P的轨迹
8、是平面Ji'内到定点Q距离等于定长PQ的轨迹，即为一个在平面n'内以Q为圆心，PQ为半径的小圆，且该小圆与圆锥的轴1垂直.
