资源描述：
《高中数学1.3圆锥截线1.3.3圆锥的截线知识导航学案苏教版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.3圆锥的截线自主整理1.设圆锥面V是由直线l′绕直线l旋转而得,l′与l交点为V,l′与l的夹角为α（0°＜α＜90°）,不经过圆锥顶点V的平面π与圆锥面V相交.设轴l与平面π所成的角为β.（1）β=90°时,平面π与圆锥的交线为______________;（2）90°＞β＞α时,平面π与圆锥的交线为_____________;（3）β=α时,平面π与圆锥的交线为抛物线;（4）β＜α时,平面π与圆锥的交线为双曲线.2.圆锥曲线的统一定义:平面上到定点F与定直线M距离的比为_____________的点的轨迹是圆锥曲线,称定点F为这个圆锥曲线的_________
2、____,称直线m为该圆锥曲线的与焦点F相应的_____________.3.圆锥曲线上任意一点到焦点的距离与到相应准线距离之比等于常数e.（e=）当α＜β＜90°时,0＜e＜1,此时该圆锥曲线为__________;当β=α时,e=1,曲线为__________;当0≤β＜α时,e＞1,曲线为__________.称e为此圆锥截线的__________.高手笔记1.如图1.3-21,AD是等腰三角形ABC底边BC上的高.∠BAD=α.直线l与AD相交于点P,且与AD的夹角为β（0＜β＜）.图1.3-21图1.3-22如图1.3-22,有如下结论:（1）当l与AB（或A
3、B的延长线）、AC都相交时,设l与AB（或AB的延长线）交于E,与AC交于F.因为β是△AEP的外角,所以必然有β＞α;反之,当β＞α时,l与AB（或AB的延长线）、AC都相交.（2）当l与AB不相交时,则l∥AB,这时有β=α;反之,当β=α时,l∥AB,那么l与AB不相交.（3）当l与BA的延长线、AC都相交时,设l与BA的延长线交于G,因为α是△APG的外角,所以β＜α;反之,如果β＜α,那么l与BA的延长线、AC都相交.2.把上述中的等腰三角形拓广为圆锥,直线拓广为平面,则有如下结论:如果用一个平面去截一个正圆锥（两边可以无限延伸）,而且这个平面不通过圆锥的顶点
4、,会出现四种情况;如果平面与一条母线平行,那么平面就只与正圆锥的一半相交.这时的交线是一条抛物线;如果平面不与母线平行,那么会出现三种情形：平面只与圆锥的一半相交（且与圆锥的轴垂直）,这时交线为圆;平面只与圆锥的一半相交（且不与圆锥的轴垂直）,这时交线为椭圆;平面与圆锥的两部分都相交,这时的交线叫做双曲线.名师解惑当β＞α（β≠90°）,平面π与圆锥面的交线是椭圆,如何确定该椭圆的准线呢?剖析:如图1.3-23,上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为圆S,记圆S所在的平面为π′.设π与π′的交线为m.在椭圆上任取一点P,连结PF1.在π中过P作m的垂线,垂足为A.过
5、P作π′的垂线,垂足为B,连结AB,则AB是PA在平面π′上的射影.容易证明,m⊥AB.故∠PAB是平面π与平面π′所成的二面角的平面角.在Rt△ABP中,∠APB=β,所以PB=PAcosβ.①图1.3-23设过P的母线与圆S交于点Q1,则在Rt△PQ1B中,∠Q1PB=α,所以PB=PQ1cosα=PF1cosα.②由①②得:.因为0＜α＜β＜,所以cosβ＜cosα.所以＜1.由上所述知,椭圆的准线为m.讲练互动【例题】利用Dandelin双球证明当α＜β＜90°时，平面π与圆锥面的交线是椭圆.分析:利用椭圆定义:平面内到两定点F1、F2的距离和为一个定值2a（2
6、a＞
7、F1F2
8、）的点的轨迹是椭圆.证明：如图1.3-24,在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切.图1.3-24当β＞α时,平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线.设两个球与平面π的切点分别为F1、F2,与圆锥相切于圆S1、S2.在平面π与圆锥面的交线上任取一点P,连结PF1、PF2.过P作母线交S1于Q1,交S2于Q2,于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线,因此PF1=PQ1.同理,PF2=PQ2.所以PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2.由正圆锥的对称性,Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行
9、平面间的平行于母线的线段的长度,与点P的位置无关.由此可知平面π与圆锥面的交线是以F1、F2为焦点的椭圆.绿色通道放置Dandelin双球时,一个在平面π的上方,一个在平面π的下方,并且与平面π及圆锥面均相切.变式训练利用Dandelin双球证明当β＜α时,平面π与圆锥面的交线是双曲线.证明:如下图所示,当β＜α时,平面π与圆锥的两部分相交.在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球,与平面π的两个切点分别是F1、F2,与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.在截口上任取一点P,连结PF1、PF2.过P和圆锥的顶点O作母线,分别与两个球相切于
