高中数学1.3圆锥截线1.3.3圆锥的截线知识导航学案苏教版选修4-1

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1、1.3.3圆锥的截线自主整理1.设圆锥面V是由直线1'绕直线1旋转而得,1’与1交点为V,1’与1的夹角为a（0°0>a吋，平面n与圆锥的交线为；（3）B二a时，平面兀与圆锥的交线为抛物线；（4）P

2、l,曲线为.称e为此圆锥截线的.高手笔记1.如图1.3-21,AD是等腰三角形ABC底边BC上的高.ZBAD=a.直线1与AD相交于点P,且与AD的夹角为B（0a;反之，当P>a时，1与AB（或AB的延长线）、AC都相交.（2）当1与AB不相交时，则1〃AB,这时有P=a;反之，当P=a时

3、,1〃AB,那么1与AB不相交.（3）当1与BA的延长线、AC都相交时，设1与BA的延长线交于G,因为a是AAPG的外角，所以P

4、两部分都相交，这时的交线叫做双曲线.名师解惑当P>a(BH90。)，平血Ji与圆锥面的交线是椭圆，如何确定该椭圆的准线呢？剖析:如图1.3-23,±面一个Dandelin球与圆锥面的交线为圆S,记圆S所在的平面为兀'.设it与ji'的交线为m.在椭圆上任取一点P,连结PFi.在Ji中过P作m的垂线，垂足为A.过P作"的垂线，垂足为B,连结AB,则AB是PA在平面jt'上的射影.容易证明,in丄AB.故ZPAB是平面n与平面"所成的二面角的平面角.在RtAABP中，ZAPB二B,所以PB=PAcosB.①图1.3-23因为OVa

5、PB=a,所以PB二PQiCOSa二PFiCOSa.②2所以cosP

6、FF2

7、)的点的轨迹是椭圆.证明：如图1.3-24,在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面n的上方，一个位于平面兀的下方，并且与平面兀及圆锥均相切.当P>«时，平面it与圆锥的交线是一个封闭曲线.设两个球与平面n的切点分别为儿、氏与圆锥相切于圆&、S2.在平面it与圆锥面的交线上任取一点P,连结PF】

8、、PF?.过P作母线交&于Q】,交，于于是PF.和PQ】是从P到上方球的两条切线，因此PFfPQi.同S,PF2=PQ2.所以PFi+PF2=PQi+PQ2=QiQ2.由正圆锥的对称性,QQ的反度等于两圆&、&所在平行平面间的平行于母线的线段的反度,与点P的位置无关.由此可知平面n与圆锥面的交线是以Fi、E为焦点的椭圆.绿色通道放置Dandelin双球时，一个在平面兀的上方，一个在平面n的下方，并且与平面n及圆锥而均相切.变式训练利用Dandelin双球证明当&

9、与平面兀的两个切点分别是八、F?,与圆锥两部分截得的圆分别为S】、S2.在截口上任取一点P,连结PF】、PF2.过P和圆锥的顶点0作母线，分别与两个球相切于Qi、Q2,则PFi=PQbPF2=PQ2.所^

10、PFi-PF2

11、=

12、PQi-PQ2

13、=QiQ2.由于QQ为两圆Si、&所在平行平面之I'可的平行于母线的线段长，因此QQ的长为定值.由双曲线的定义知，P