高等数学上册蒋国强D1习题课

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1、第—章上一、函数二.极限的计算三.连续与间断机动目录上页下页返回结束函数1・函数的定义域，函数关系，函数的复合,有界函数，分段函数，初等函数2・例题例1・下列函数中，有界的奇函数是(C)(A)x2sinx2(B)XCOSX(C)x2arcsinx(D)%2arctan%例2・设/0)+/(¥)=2.其中x^O.x^l求/(x)・解：利用函数表示与变量字母无关的特性.令丫=心1,即尤=古，代入原方程得X■/（古）+皿咅,即心）+心=在令七二专即2書，代入上式得/（吉）+/（竽）=咿，即/（在）+/（宁）=址711&线三式联立1>f（

2、兀）=X~F1x1-xn圈哼區hs,I冲版教学酉F1套课件机动目录上页下页返回结束例3・设f⑴=exf[0,求0（兀）及其定义域.解：-f（x）=ex^:.fY（p（x）]=/⑴由畀2⑴=]_兀得0（兀）=Jln（l-兀），xg（-oc,0]一、x-3,x>8L例纭已知心彳心心］,皿’求gM：/(5)=f[/(10)]=f(10-3)=/⑺=f[/(12)]*(12—3)=/(9)=61例5・设/(sinxH)=esc2x-cos2x,求/(x).sinx解：・.•f(sinx+^—)=——

3、■sin2x-1smxsin2%=(sinxH——)2_39sinx/(x)=x-3二.极限的计算1・函数在连续点处求极限代入求函数值八sinx4例6叽厂市2.两个重要极限(1)(2)-sinx〜lim=1心0%1lim(l+—)x=eXTOOJQ模式：iimsin（分母无穷小）=i某一个过程无穷4、模式:如（1+无穷小严Je倒数X^Xq1arctan-的函数/(兀)(即使不是分JC求lim/(x)x-0厂xsin1(2)含有Q例设=10丄J2匚-1lim——兀to2：+10求喲/⑴x=03.利用左右极限计算函数极限的情形(1)分

4、段点“)两侧涉及两个不同表达式的分段函数/(X),求lim/(x)1X4・利用等价无穷小代换计算函数极限（高技巧的方法）(2)（1）检验是否是无穷小;等价无穷小的关系；（3）可代换的条件;常用等价无穷小：・v12sin;v~兀；tanx1—cosx—;arctanx-x;arcsinx~x;ln(l+x)~x；ex-1^x;qX—1〜xlnQ；(1+兀)“_1〜“兀；5.三个特殊结论。（）m.m-..n>mHmF+%兀+•••+%3°°b^xn+bixn~i++00（2）有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小（主要针对sinoo形式

5、的极限）（3）含有根式差的处理方法（乘才艮式和）三.连续性与间断点1.函数连续的定义lim/(x)=f(x0)提供了一种计算函数极限的方法X^XqlimAy=0自变量改变很小时函数的改变也很小AxtO2•间断点的寻找(有定义，有极限，两者相等不能同时满足)初等函数的间断点只能产生在函数孤立的无定义点上分段函数的间断点、往往产生在分段点上3•间断点的分类函数间断点厂可去间断点，第一类间断点/（%0_）,/（%/）各自存在丿（兀0）=/（叮）或lim/（x）存在Ax—>x01跳跃间断点/（叮）工/（%（「）无穷间断点（第二类间断点f（

6、x0"）,f（x0+）至少一个不存在振荡间断点4•闭区间上连续函数的性质有界定理；最值定理；零点定理；介值定理・机动目录上页下页返回结束（与这一内容有关的往往是证明题）原版教学配套课。兀-h例7•设函数/(x)=-―-—-有无穷间断点(X_Cl)X_1)x=0及可去间断点x=1,试确定常数a及方.v(x—q)(x—1)a八lim二二0ex-b1-bQ=0，bH1解：•・•x=0为无穷间断点，所以lim=ooxt0(x_q)(x_1)ex-bX_7・.・兀=1为可去间断点，・・.lim极限存在lim("—b)=0b=limex=e

7、N菁轉廉RSz原版教学配套课I由吐琳心血▲网/小机动目录上页下页返回结束驱求册泊的间断点'并判别其类型.解：血々)sin”=lsinlJVT—1x(%H-l)(x—1)2X=-1为第一类可去间断点lim/(x)=ooXT1X=1为第二类无穷间断点lim/(%)=-1,lim/(x)=1,XT0+0_兀=o为第一类跳跃间断点机动目录上页下页返回结束