高等数学上册 教学课件 作者 蒋国强第6章D6习题课1.ppt

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1、习题课一、计算旋转体体积的新方法定积分的应用第六章二、内容归纳三、例题机动目录上页下页返回结束一、计算旋转体体积的新方法求由曲线、、及x轴所围图形，绕y轴旋转所构成的旋转体体积。解：取x为积分变量，积分区间为，任取机动目录上页下页返回结束二、内容归纳1.基本方法:微元分析法第二步在[a,b]内任取一个典型小区间[x,x+dx]，第三步的近似值第一步选取积分变量（如x），确定积分区间（如[a,b]）“以常代变”计算相应于[x,x+dx]上部分量机动目录上页下页返回结束面积公式体积公式2.定积分在几何方面的应用:机动目录上页下页返回结束变力做功：液体压力：3.定

2、积分在物理方面的应用:需要用微元法作具体分析任取x位置下的力移动的距离功的微元建立坐标系，，在原题的背景下找出任取x位置在液面下的深度小块薄片的面积压力的微元建立坐标系，，在原题的背景下找出机动目录上页下页返回结束例1.求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积机动目录上页下页返回结束且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点机动目录上页下页返回结束例2.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形面积为2,(1)求函数(2)a为何值时,所围图形绕x轴旋转

3、一周所得旋转体体积最小?(3)按(2)中所得的a,求所围图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积。机动目录上页下页返回结束解:(1)由方程得即故得(下)的抛物线，表明y=f(x)是过原点且开口向上根据图形面积为2求C1机动目录上页下页返回结束(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V取最小值.机动目录上页下页返回结束(3)由旋转一周，得以及、所围图形绕y轴，则旋转体体积11010机动目录上页下页返回结束例3.半径为R,密度为的球沉入深为的水池底,水的密度现将其从水池中取出,需做多少功?解:建立坐标系如图.则对应上球的薄片提到水面上的微功为提出水面后的微功为微元体积所受

4、重力上升高度H(H>2R)机动目录上页下页返回结束因此微功元素为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束