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1、i3/—7//-30J专题九三角函数的图象和性质要点热点探究►探究点一三角函数的图象与变换三角函数图象的研究主要是根据函数图象求函数的解析式和函数的性质；三角函数图象的变换主要是指平移变换、伸缩变换、对称变换.例1(1)给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的扌，纵坐标不变；②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；③图象向右平移申个单位长度；④图象向左平移罟个单位长度；⑤图象向右平移普个单位长度；⑥图象向左平移乎个单位长度.图9—1请用上述变换中的两种变换，将函数j=sinx的图象变换到函数或ng
2、+3的图象，那么这两种变换的序号侏次是(填上一种你认为正确的答案即可).(2)函数金)=為11(伽+0)(/>0,0>0,0引0,2町)的图象如图9一1所示，则0=.(1)④②或②⑥(填岀其中一种即可)(2疗【解析】(1)y=sinx④,丁=或心+刘②,y=sin詹+刘,或y=sinx®9y=sinpc(6),j=sin^(2)T=2(7—3)=8,一&=才，力=3,fix)=3sin^x4~9将(3,0)代入得：于+卩=2加+兀，即(p=2kn+^.又卩丘［0,2兀)，所以卩=中・►探究点二三角函数的周期性与对称性对于函数y=A
3、sin((ox^-(p)的周期是由①的值来决定，而周期性也影响了三角函数的对称性和单调性.对称轴的方程和对称中心的坐标还要受到卩的值的影响，所以考查时常有由性质求解析式，由解析式来研究性质.例2⑴已知函数金)=2或11(砂+卩)(少>0)的图象关于直线x=¥对称，且£^)=0,则(o的最小值为•(2)设函数fix)=sin(wx+(p)+cos(ft)x+(p^(o>0,(p的最小正周期为兀，且/(—x)=金)，则金)的单调减区间为•(1)2(2)［航，加+£
4、(圧Z)【解析】⑴由题意得：乎+卩=换+号，又晋+卩=亦所以遗=以
5、兀+号，即(o=4kr+2,又e>0,所以e的最小值为2.(2)V/(x)=y［2sin^CDx+(p,由题意知号=兀且(p+^=kn+^f解得co=2f(p=kn+^.又卩
6、V号，・・・卩=务，都有/『+爭=/(r+甥记gd)⑴若f［x）=As（（ox+（p）+（（o>Q9（p0,函数y=sin^jx+j)+2的图象向右平移普个单位后与原图象重合，则e的最小值是.(1)-1(2)
7、【解析】⑴由于任意实数F,函数金)有/+§)=/(—成立，故金)的图象关于
8、直线兀=申对称，即sin(扌e+J=±l,从而cos(jft)+^=0,故/3=—1・⑵将y=sin@v+f)+2的图象向右平移乎个单位后为丿=血卜卜一乎)+申］+2=sin(ex+专-晋刁+2,所以有賢^=2加,即“=¥•11又因为心)，所以妙1,故心=号羽，所以(〃的最小值是*A探究点三三角函数的单调性与值域例3已知函数f{x)=sin2^x—+cos26r—+sinxcosx,xWR・(1)求沧)的最大值及取得最大值时的X的值；(2)求./(X)在
9、0,祠上的单调增区间.当2x—号=2航+号,即x=kn+^f&WZ时，.心)
10、得最大值为¥+1.(2)由2&—号W2x—号W2Att+号,得如-頁WxW换+普,kWZ.又因为UWxWtt,所以金)在［0,兀］上的增区间为卜，訝和［晋,⑴求關的值；⑵求金)的最大值及相应x的值.=sin2xcos^+cos2xsin^—cos2xcosj+sin2xsinj+cos2x+1=V3sin2x+cos2x+l=2sin^2x+^+l,当§in(2x+/=l时，/(x)lliax=2+1=3,此时，2x+?=2衍+号，即x=&7t+?(AWZ).规律技巧提炼1.三角函数的图象和性质的研究主要涉及的方向为正余弦函数叠加
11、后所得函数的研究，首先需要对所给函数进行化归，在化归的过程中要注意“角”“名”“次”的统一，化归后的函数需要整体处理（换元），再研究其性质，故对^=sinx,j=cosx,j=tan.v的性质必须掌握•2.在三角函数的性质研究时，要注意“形”和“式”之间的联系，即力，（。,£卩对函数性质和图象的影响.3.三角函数图象的变换中要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异.e>0）的部分图象如图9【答案】¥【解析】由图象可得A=y/2，周期为4X兀，所以（o=2,将（詈，一屈代若函数/（x）=/sin（（〃x+e）（/l>0
12、s>0）的部分图象如图9一3所示，则①的值为f【解析】由图可知乎=6,得卩=8,故警=8=>（〃斗入得2X詈定义在区间0,=6cosx的图象与j=5tanx的图象的交点为P,过点P作23PPi丄x轴于点P],直线PPi与y=sinx的图象交于点P2
