专题10.3热点题型二双曲线-2017年高考数学（理）热点+题型全突破

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1、热点题型二双曲线【基础知识整合】1.双曲线定义平面内到两个定点凡尺的距离的差的绝对值等于常数(小于幷人的正数)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P={M\MF-MF2=2afFR=2c、其中日、c.为常数且玄>0,c>0.(1)当2KFFl时,"点的轨迹是双曲线；(2)当2尸FR时,P点的轨迹是两条射线；(3)当辿迥时，"点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程22xy.…-1（a＞0,力＞0）22—1/厂1（日＞0,Z?＞0）图形yK

2、性质范围心a或xW—a,yWRxWR,—日或y^a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点4（—^0）,A-Aa,0）A（0,—a）,力2（0,a）渐近线丄a尸土歹离心率e=~,eW（1,+°°）,其中c=yja+Ifav实虚轴线段〃虫叫做双曲线的实轴，它的长A4>=2£；线段叫做双曲线的虚轴，它的长Bb=辿;日叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c=a+1}（c＞曰＞0,c＞方＞0.）【知识拓展】巧设双曲线方程2222⑴与双曲线為一召=1(白>0,步0)有共同渐近线的方程可表示^

3、-4=t(占0)・abad22⑵过己知两个点的双曲线方程可设为专+『1伽〈0）.学科网类型一双曲线的定义及标准方程x2y2【典例1][2015高考福建，理3】若双曲线E:专一土=1的左、右焦点分别为耳,d，点P在双曲线E上，且

4、P川=3,贝i\PF2等于（）A.11B.9C.5D.3【变式训练】已知圆久（%+3）2+/=1和圆©（%-3）2+/=9,动圆〃同时与圆G及圆G相外切，贝恸圆圆心财的轨迹方稈为一・.xC【典例2][2015高考上海】己知双曲线C「C?的顶点重合，G的方程为y-y2=l,若C2

5、的一条渐近线的斜率是G的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为.【变式训练1】【2014・天津改编】已知双曲线了一才=1@〉0,方＞0）的一条渐近线平行于直线7：尸2卄10,双曲线的一个焦点在直线/上，则双曲线的方程为一2【变式训练2】【2015高考新课标1,理5】已知Ma。,％）是双曲线C：一-/=1上的一点，片，坊是2C上的两个焦点，若诙•帀可＜0,则y（）的取值范围是（）【解题技巧与方法总结】1.应用双曲线的定义需注意的问题:在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦

6、点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”・若定义屮的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.2.求双曲线方稈时一是标准形式判断；二是注意念b、c的关系易错易混.类型二、双曲线的几何性质22【典例31[2016高考新课标1卷】己知方程冷—=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离+n3m^一n为4,则刀的取值范围是()(A)(-1,3)(B)(-1,V3)(C)(0,3)(D)(0,^3)2222【变式训练】(2014•广东改编)若实数&满足0

7、=1与曲线亦士一扌=1的相等.22【典例4】【2016年高考北京理数】双曲线=一「=1(6/>0,b>0)的渐近线为正方形0ABC的边0A,cr0C所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形0ABC的边长为2,则。=【变式训练】36高考天津理数】已知双曲线才沪(方>0),以原点为圆心，双曲线的实半轴长为四边形的外彩的面枳为2/刀则双曲线的方程半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于久B、a〃四点,为()学科网(A)T-V=1(B)T~V=1(c)44=1(d)【典例5】【2016高考新课标2理数】己知斤，尺是

8、双曲线E:二一与=1的左，右焦点，点M在E上,crtrM斤与兀轴垂直，sinZM/^f；则E的离心率为()(A)V20(B)一(C)V3(D)22【变式训练】【2015高考新课标2】已知〃为双曲线〃的左，右顶点，点〃在E上，△加册为等腰三角形,且顶角为120°,则F的离心率为【解题技巧与方法总结】在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e=£是一个比值，故只需根据条件得到关于臼、b、c的一个关系式，利用a—/消去方，然后变形求e,并

9、且需注意e>l.同时注意双曲线一方程中无，y的范围问题.类型三、直线与双曲线的位置关系【典例6][20.15江苏高考】在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2-/=1右支上的一个动点。若点P【变式训练】【2016淮南一中等四校联考】已知双曲线C：到直线x-y+l=0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为•—7=1(6Z>0,/?>0)的离心率为若a曲线y(y-kx)=o与双曲线C有且仅有2个交点，则实数k的取值范闱【典例7】