专题8.3热点题型二多面体与内切球和外接球-2017年高考数学（文）热点+题型全突破

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1、热点题型二多面体与内切球和外接球近年來在高考中经常有多面体与球的切与接的问题，充分体现了对学住空.间想象能力，运算求解能力和转化思想的考查，题目难度为屮等或偏难。为了便于学习和学握此类问题的求解方法，卞面结合高考题进行了以下归纳：类型一求多面体与内切球或外接球的表面积和体积类型二多面体的内切球或外接球的最值问题【基础知识整合】1.必记公式（1）表面积公式；表面积=侧面积+底而积，其屮①多而体的表而积为各个而的而积的和.②圆柱的表面积公式：5=2兀/+2讪=2兀心+/?）（其屮，r为底面半径，/?为圆柱的高）.③圆锥的表面积公式：S=^+itrl=7tr（r+l）（其中圆锥的

2、底血半径为门母线长为/）.④圆台的表面积公式：S=TC（r/2+r2+r7+r/）（«中圆台的上、下底面半径分別为尸和r,母线长为/）.⑤球的表面积公式：S=4ttF（其中球的半径为R）.（2）体积公式；①V^=Sh（S为底面面积，力为高）.②Vw=^Sh（S为底面面积，h为高）.③其小R为球的半径）.2.球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的•各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体.，这个球是多而体的内切球。类型一求多面体与内切球或外接球的表面积

3、和体积【典例1】［2014大纲全国卷文10】正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底而边长为2,则该球的表面积为（）8171A.~B.16兀C.9kD:27兀【典例2】【2014陕西高考】己知底面边长为1,侧棱长为、佢的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体枳为（）BAttC.27T■D.【变式训练】1.【2013•课标2文15】已知正四棱锥OABCD的体积为爭，底血•边长为萌，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为52.【2016长春模拟】在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是SC,3C的中点，.FLMN丄AM,若侧棱SA=2©则止三棱锥S-ABC外接球的表

4、面枳是（）A.12兀B-32兀C.36tiD.48兀类型二多面体的内切球或外接球的最值问题【典例1】[2016年高考新课标3文（11）】在封闭的直三棱柱ABC-A.B.C.内有一个体积为V的球，若AB丄BC,AB=6,BC=8,人人=3，则U的最大值是（）(A)4Ji(B)竺(C)6n(D)密.[2015高考课标2】己知A,B是球O的球而上两点，ZAOB=90°,C为该球而上的动点，若三棱锥O・ABC体积的最人值为36,则球O的表面积为（）A.36兀B.64兀C.14471D.256兀【变式训练】1.[2014湖南高考文8】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削

5、、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3・D.416T9322.[2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工•作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料禾」用率二新工件一的体积/原工件的体积）（）A、B、24苗-1)?7C8（血一1）2兀【解题技巧与方法总结】多面体与球接、切问题的求解策略（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多而体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截而,把空间问题转化为平面问题，再利川平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或

6、只画内切、外接的几何体的玄观图，确定球心的位置，理清球的半径（肓径）与该几何体己知最的关系，列方程（组）求解.（2）若球而上四点P,A,B,C构成的三条线段必，PB,PC两两互相垂总，HPA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形"成为一个球内接长方体，则4F=/+f+c2求解.