2018届高考数学（理）热点题型：立体几何

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1、立体几何热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.JT【例1】如图，在AABC中，ZABC=y,0为AB边上一点，且3OB=3OC=2AB,已知P0丄平面ABC,2DA=2AO=PO,且DA〃PO.(1)求证：平而PBD丄平面COD；(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值.⑴证明VOB=OC,又・・・ZABC=y,jiji・・・ZOCB=才，AZBOC=y.・・・C0丄AB

2、.又PO丄平面ABC,OCU平而ABC,・・・P0丄OC.又VPO,ABU平面PAB,POAAB=O,ACO丄平面PAB,即CO丄平面PDB.乂COU平面COD,・・・平面PDB丄平面COD.⑵解以OC,OB,OP所在射线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.X设OA=l,则PO=OB=OC=2,DA=1.则C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,-1,1),APD=(0,-1,-1),BC=(2,—2,0),BD=(0,—3,1).设平而BDC的一个法向量为n=(x,y,z),nBD=0,2x—2y=0，_3尹+z=0,令

3、y=l,则x=,z=3,.•.兀=(1,1,3).设PD与平面BDC所成的角为0,则sinB=1X0+1X(—1)+3X(—1)2^22=yjO2+(-1)24-(-1)2X^12+12+32=H即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为普2【类题通法】利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系.第二步：确定点的坐标.第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标.第四步：计算向量的夹角(或函数值).第五步：将向量夹角转化为所求的空间角.第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】如图所示，在多而体A{BxDrDCBA中，四边形AAX

4、BXB.ADD^,/BCD均为正方形，E为5。的中点，过力1，D,E的平面交CD于F.(1)证明：EF//B}C.(2)求二面角E・AD・B的余弦值.⑴证明由正方形的性质可知A]Bi〃AB〃DC,且A]B=AB=DC,所以四边形A)B]CD为平行四边形，从而B]C〃AD,乂A】DU面A】DE,BCQ面AQE,于是BiC〃面AjDE.又BiCU面BiCD],面AQEQ面B】CDi=EF,所以EF〃B】C.—D,L卫D(2)解因为四边形AABB,ADDA,ABCD均为正方形，所以44】丄AE,AAX0),A^D丄MD,MB丄ADHAAX=AB=AD.

5、以昇为原点，分别以鮎，AD,石]为x轴，y轴和z轴单位止向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标力(0,0,0),5(1,0,0),2)(0,1,0),4(0,0,1),5)(1,0,1),0(0,1,1),而E点为B、D的中点，所以E点的坐标为(，，1)・设平面4DE的一个法向量山=(门，si，Zi),而该面上向量石充=(,=(0,1,—1),由,2]丄力出,Zl应满足的方程组1(―1,1,1)为其一组解，所以可取m=(-Lb1).设平面AyBxCD的一个法向量血=(尸2,S2,切，而该面上向量石初=(1,0,0),A^D=(0,1,—1),由此同

6、理可得712=(0,1,1).所以结合图形知二面角E-AXD-BX的余弦值为_•死2=2=^6谢・闪2厂筋乂迈3•热点二立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种解决方式：(1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在.【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,PA丄PD,PA=PD,AB丄AD,AB=1,AD=2,AC=CD=谄.(1)求证：PD丄平面PAB；(2)求直线PB与平

7、面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM〃平面PCD?若存在，求第的值；若不存在，说明理由.(1)证明因为平面PAD丄平面ABCD,平面PADA平面ABCD=AD,AB丄AD,所以AB丄平面PAD,所以AB丄PD.又PA丄PD,ABQPA=A,所以PD丄平面PAB.⑵解取AD的中点0,连接PO,CO.因为PA=PD,所以P0丄AD.因为POU平面PAD,平面PAD丄平面ABCD,所以PO丄平面ABCD.因为COU平面ABCD,所以PO丄CO.因为AC=CD,所以CO丄AD.如图，建立空间直角坐标系O—xyz.由题意得，A(0,1,0),

8、B(l,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0