专题04 立体几何-2019高考数学(理)热点题型 Word版含解析.pdf

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1、立体几何热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.1【例1】(满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，2∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值.教材探源本题源于教材选修

2、2－1P109例4，在例4的基础上进行了改造，删去了例4的第(2)问，引入线面角的求解.四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，3分(得分点2)又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB.4分(得分点3)→→(2)解由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，

3、AB

4、为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，3)，→→PC＝(1，0，－3)，AB＝(1，0，0).

5、z

6、2＝，（x－1）2＋y2＋z22即(x－1)2＋y2－z2＝

7、0.①→→又M在棱PC上，设PM＝λPC，则x＝λ，y＝1，z＝3－3λ.②22x＝1＋，x＝1－，22由①，②解得y＝1，(舍去)，y＝1，66z＝－z＝，2226→26所以M1－，1，，从而AM＝1－，1，.8分(得分点5)2222设m＝(x，y，z)是平面ABM的法向量，则000→m·AM＝0，（2－2）x＋2y＋6z＝0，即000m→x＝0，·AB＝0，0所以可取m＝(0，－6，2).10分(得分点6)m·n10于是cos〈m，n〉＝＝.

8、m

9、

10、n

11、510因此二面

12、角M－AB－D的余弦值为.12分(得分点7)5得分要点❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，作辅助线→证明线线平行→证明线面平行；第(2)问中，建立空间直角坐标系→根据直线BM和底面ABCD所成的角为45°和点M在直线PC上确定M的坐标→求平面ABM的法向量→求二面角M－AB－D的余弦值.❷得关键分：(1)作辅助线；(2)证明CE∥BF；(3)求相关向量与点的坐标；(4)求平面的法向量；(5)求二面角的余弦值，都是不可少的过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证，如(得分

13、点4)，(得分点5)，(得分点6)，(得分点7).【类题通法】利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系.第二步：确定点的坐标.第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标.第四步：计算向量的夹角(或函数值).第五步：将向量夹角转化为所求的空间角.第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】如图在直角梯形BBCC中，∠CCB＝90°，BB∥CC，CC＝BC＝2BB＝2，D是CC的中点，11111111111四边形AACC可以通过直角梯形BBCC以CC为轴旋转得到，且二面角B－CC－A为120°.1111

14、111(1)若点E是线段AB上的动点，求证：DE∥平面ABC；11(2)求二面角B－AC－A的余弦值.1又AD∩DB＝D，AD，DB⊂平面DAB，111111∴平面DAB∥平面CAB，11又DE⊂平面DAB，∴DE∥平面ABC.11(2)解在平面ABC内，过C作CF⊥BC，1111111由题知CC⊥CB，CC⊥AC，∴CC⊥平面ABC.1111111111分别以CF，CB，CC为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系C－xyz，11111则C(0，0，0)，A(3，－1，1)，C(0，0，2)，B(0，2，1)，1→→→→所以C

15、A＝(3，－1，1)，CC＝(0，0，2)，AC＝(－3，1，1)，BC＝(0，－2，1)，11热点二立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种解决方式：(1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在.π【例2】在如图所示的几何体中，平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，∠DAB＝，3AB＝2，AM＝1，E是AB的中点.(1)求证：平面DEM⊥平面

16、ABM；π(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角P－EC－D的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明4理由.(2)解在线段AM存在点P，理由如下：由DE⊥AB，AB∥CD，得DE⊥CD，因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD