《高一数学函数的单调性》

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1、§2.1.3函数的单调性心学习目标1.结合一次函数、二次函数、反比例函数的图象，形象地理解函数的单调性；2.通过取值、描点，分析函数值的变化规律，体会函数值的变化趋势，并会作出判断；3•理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法；4•培养利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合的思想，提高辩证思维的能力.心L学法指导聶察函数的系调性，可以从函数的图像、函数值的变化情况，增（减）函数的定义等多方面进行，但函数单调性的证明必须根据增（减）函数的定义加以证明。【自学合作探究】1（画一画）.画出函数y=2x,y=-2

2、x,y=x2的图象.V42.（想一想）上面画出的图象从左到右是上升的还是下降的？（1）函数j=2x的图象从左到右是;（2）函数y=-2x的图象从左到右是;（3）函数y=/的图象从左到右，在区间是；在区间是>.(算一算)若函数代小=2x,g(x)=-2x,/?(x)=x2请填写下表.X/⑴-4-3-2-101234X-4-3-2-101234gWX-4-3-2-101234h{x)并思考：当H变量从小变大时，函数值是怎样变化的？(1)当自变量在实数集从小变大时，函数/(x)=2x的值;(2)当自变量实数集从小变大时，函数g

3、(x)=-2x的值;是4.-我们怎样用数学符号语言来刻画函数的增、减性质?(3)当H变量从小变大时，函数h(x)=x2的值,在区间是;在区间在函数y=芦(兀)的图像上任取两个点24(西,必),3(兀2，丁2)，记:Ax=x2-xpAv=f(x2)-/(%!)=J2-(1)在区间(-o>,0],任意取两个值xpx2,当改变量Ax=x2-x,>0,则△y=/U2):g)o(填“〉”或“V”)(2)在区间［0,+oo),任意取两个值,当改变量心=心—西〉0,则Ay=f(x2)~/(%!)0(填“〉”或“v”)5.(说一说)根据

4、上面的分析，请同学们给出增函数和减函数的定义：一般地，设函数y=/(兀)的定义域为A,区间MA如果取区间M中的两个值兀

5、,%2，改变量Ax二兀2一西〉°，则当Ay二/(x2)-/(%,)0吋，就称函数)，=/(兀)在区间M上是增函数,当Ay二/(x2)-/(x,)0时，就称函数)，=/(兀)在区间M上是减函数.(辨一辨)判断下列结论是否正确.(1)函数/(x)=-在实数集上是减函数.()注：函数的单调性是在研究函数在定义域的子集(注意包括定义域木身)上的性质.(2)若函数的定义域为［2,6］,满足/(2)

6、数y=/(兀)在区间［2,6］±是增函数.()注：取区间M中的任意两个值兀I，吃中的“任意”两个字绝不能去掉.更不能用两个特殊值代替.6•单调性和单调区间的定义：如果一个函数在某个区间M上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，其屮区间M称为函数的单调区间.思考：函数y=x2在(yq,+00)上具有单调性吗？【展示点拨】例1、下图是定义在区间［—5,5］上的函数y=f(x),请根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数.※变式练习：(1)已知函数y=f(x),y=g(x)的图象

7、，(包括端点)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数.例2、证明函数/(%)=2兀+1,在(+Q上是增函数.小结：证明函数单调性的步骤:练习：判断函数/(x)=-在区间(-8,0)和(0,+00)上的单调性，并证明你的结论.思考：能否说，/(%)=丄在它的定义域上是减函数？为什么?例3、判断y=x3在(-oo,+oo)的单调性,并证明。练习：判断函数y=在区间［0,+◎上的单调性，并证明你的结论.例4、画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间.(l)y=

8、x

9、-l(2)丿=

10、兀一1

11、变式

12、：研究下列函数的单调区间并分别画出它们的图象:(1)(2)心目标检测A级1、下列函数中：①/(X)=—;②/(x)=x2+2x+l；x-其中，在区间(0,2)上是递增函数的序号有・2、函数尸小

13、的递增区间是・3、函数y二—+2的单调递增区间为•4、函数y=7x2-2x-3的递减区间是.5、函数y=(2k+l)x+b在(-°°,+00)上是减函数，则£取值范围。（1严）6、已知函数/(x)=4x2-/7U+5在(-oo,-2)上是减函数，在(-2,+oo)上是增函数，贝叶⑴二.7、若二次函数f(x)=-x2-cix+4在

14、区间(-00,1]±单调递增，则^的取值范围°8、己知函数=/(x)在定义域R上是单调减函数，且/(q+1)>/(2g),则实数a的取值范围・9、已知下列命题:①定义在R上的函数/⑴满足/(2)〉f⑴,则函数"0是R上的增函数；②定义在R上的函数/(兀)满足/(2)>/(I),则函数/(兀)在R上不是减函数；③定义在