《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：第47课椭圆的几何性质

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1、第47课椭圆的几何性质一、考纲要求1.熟练掌握椭圆的儿何性质，会利用儿何性质解决简单的问题；2.能够依据椭圆的儿何性质获得参数间的关系，并能够处理与其它Illi线进行综合的简单问题.二、知识梳理1•阅读教材第33页~36页，熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率），会从椭圆方程及图形两个角度研究某些性质:b2.椭圆的离心率是反映了椭圆形状的一个重要量，它与匕之间满足一个什么关系，试从这个a角度说明椭圆的扁圜程度，要求离心率关键要寻找何种等式？3.阅读第35贝例1,在画出椭圆前，先把其方程化成函数形式的，思考：椭圆方程为函数的关系？4.阅读第35页例2,思考

2、：a-c,a+c是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗?要点解析1.熟练掌握山椭圆方程求岀6点、短轴长、长轴长、离心率、焦距、通径长、焦准距，两准距、等基本量；2.椭圆的变量范围主要应用于：（1）构造某一函数时作为定义域考虑，（2）在求离心率范围时作为构造不等关系的依据；3•椭圆的特征三如形是什么？其中哪个最对应于离心率？椭圆上点从某一长轴的端点出发向短轴端点运动过程中它対两个焦点形成的张角如何变化？形成的焦点三角形的面积如何变化？你能证明吗？4.求椭圆的离心率及离心率的范围其实质是去寻找含的齐次等式与齐次不等式，建立等量关系•不等关系通常有哪些手段

3、呢？5.在椭圆的焦点三角形中研究问题一般离不开使用第一定义，冇时还会结合正（余）弦定理解决问题；6.涉及椭圆上点到焦点距离时一般会想到焦半径公式：/*.=a+ex（）,=a-exQ,此公式来源于椭圆的第二定义。三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错谋。将知识问题化，通过问题驳动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力.2、诊断练习点评Fy21题1.若焦点在兀轴上的椭圆-4-^-=1的离心率为上，则加二.2m23【分析与点评】焦点在x轴上的椭圆，对应的d,b,c—目了然，列出方程求解得一•2F

4、V21【变式】：若椭圆—=1的离心率为丄，则加=.2m23Q分析：显然应分焦点在x轴、y轴两种情况讨论求解，结果为才或扌.题2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在兀轴上，离心率为爭，H.G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭鬪G的方程为题3・椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是【分析与点评】让学生画出图形，结合图形确定出基本性质，要让学生注意长轴、短轴的概念，注意与长半轴、短半轴的区别，题4.过椭圆1(Q〉/?〉())的左焦点片作兀轴的垂线交椭圆于点P&为右焦点,若ZF}PF2=60则椭圆的离心率为.【分析与点评】2b2⑴容易求

5、出P点纵坐标，也就得出长度，由于Z〒PE=60°,所以PF.=—根据定~~ac3/r3(tz2-c2)工。七73义有PF、+PF2=2a==,于疋有e=—.aa3⑵求离心率时如何对条件进行转化？——消去b,寻求o,c的关系式，消元途径—b~=cr-c~.【变式】：已知椭圆的长轴长不小于短轴长的4倍，则椭圆的离心率的范围是.【分析与点评】(1)条件a>4h怎样转化？结合上例，平方得672>16/?2=16(672-c2),e2=^<—得辽.a2164(2)也可让学生在题4的基础上直接通过图像猜想结论，使学生了解参数变化后，幺的变化情况(3)离心率问题是考察中常见的题

6、型，教师应引导学生归纳总结求离心率的方法与技巧.有关离心率问题，往往得到含abc的方程或不等式，化简方法：利用关系lr=cr-c1消去得到a,c的关系式。若得到的是a,c的二次齐次式，可两边同除ch直接化为e的一元二次方程(或不等式)，再解之.3、要点归纳(1)强化解析几何的作图(简图)意识，通过图像自行给出相应的四线(两条对称轴、两条准线)；六点(两个焦点、四个顶点)，准线方程以及离心率(2)注重归纳总结求解椭圆问题的一般步骤通常是“定位，定量”(3)总结求解离心率问题的实质是求出参数a,c的比例关系(或不等式).四、范例导析22例1：如图所示，在平而总角处标系

7、心中，几,5分别是椭圆卡+”=1(旳>0)的左、右焦点，顶点3的朋标为(0,方)，连接并延长交椭鬪于点人，过点4作兀轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F

8、C・⑴若点C的处标为f丄］,且BF2=&,求椭圆的方程;、33丿(2)若FC丄A3,求椭圆离心率£的值.答案为：设椭圆的焦距为2c,则Fi(-c,0),F2(c,0).⑴因为B(0,b),所以BF2=ylb2+c2=a.又BF2=&,故a=^2.161<41A"q"Q因为点C一，一在椭圆上，所以解得沪=1・abJJ/2故所求椭圆的方程为f+/=l.(2)因为B(0,bF2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程

9、为出=1・