考前归纳总结：直线和圆的易错题剖析

《考前归纳总结：直线和圆的易错题剖析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、直线和圆的易错题剖析例题1、求过点(2,1)且・两处标所围成的三角形血积为4的一直线方程。错解：设所求XL线方程为兰+丄=1。ab21V(2J)在直线上，•••一+—=1,①ah乂丄ab=4,即ah=S,②2由①、②得a=4,h=2,故所求宜线方程为x+2y=4o剖析：木题的“陷阱”是宜线与两坐标轴所围成的三和形面积的表示。上述解法屮，由于对截距概念模糊不清，谋将直线在x轴和y轴上的截距作距离使川而掉入“陷阱”。事实上，直线与两处标轴所围成的三角形面积为丄

2、d制，而不是丄必。故所求直线方程应为：兀+

3、2y=4,^(V2-l)x-2(V2-l)y-4=0i^(V2-l)x-2(V2+l)y4-4=0o例题2、求过点A(-4,2)且与x轴的交点到(1,0)的距离是5的直线方程。错解：设直线斜率为k,其方程为y-2=k(x+4),则与x轴的交点为(—4—2,0),k5,解得"V故所求直线的方程为x+5y—6=0°剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线,落入“陷阱”。其实x=-4也符合题意。例题3、求过点(1,1)且横、纵截距相等的直线方程。错解：设所求方程

4、为-+2=1,将(1,1)代入得。=2,aa从而得所求直线方程为x+y-2=0o剖析：上述错解所设方程为-+^=1,其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，aa横、纵截距为0且过点(1,1)的直线y=x也符合条件。例题4、已知圆的方程为/+y2+Q+2y+a2=o,_淀点为人(1,2),要使过A点作圆的切线有两条，求Q的取值范布I。n4—3/74-3a错解：将圆的方程配方得：(匕)"+宀h・・•其恻心坐标为C(--,-1),半径r=2当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则AC>ro即］(1+》

5、)2+(2+1)2>(4_严。即。2+。+9〉0,解得VW/?。剖析:本题的“陷阱”是方程兀2+V2+做+2y+a2=0表示圆的充要条件,上述解法仅由条件得thAC>r,即a2+a+9>0,却忽视了d的另一・制约条件4一3/〉0。事实上，由/+。+9〉0及4一3/〉0可得d的取值范围是(--V3,-73)o例题5、已知直线l:y=x+b与1111线C:y=yji-x2有两个公共点，求实数b的取值范围。y=x+h错解：由i消去兀得：2b—2by+戻—1=0。y=yjl—x2・・・/与曲线C有两个公

6、共点，・・・A=4/r-8(/?2-l)>0,解得一V20y,°，解得iwbW血。例题6、等腰三和形顶点是4(4,2),底边的一个端点是3(3,5),求另一个端点C的轨迹方错解：设另一•个端点的坐标为(兀,刃，依题意有:AC=ABf即：J(_r_4尸+(y_2尸二J(4_3尸+(2_5尸・・・(

7、兀—4)2+(y—2)2=10,即为。点的轨迹方程。这是以A（4,2）为圆心、以为半径的圆。剖析：因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能重合，且不能为圆A—直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。x+3.「yH3工4事实上，C点的坐标须满足，且q2,2故端点C的轨迹方程应为(x-4)2+(y—2)2=10((xH3,y工5;兀H5,yH-1)。它表示以（4,2）为圆心，以価为半径的圆，除去（3,5）（5,-1）两点。5x+3y<1

8、5例题7、求z=3兀+5y的最大值和最小值，使式中兀,），满足约束条件：｛yWx+lx-5y<3错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L。：3x+5y=0o由于经过B点且与5平行的直线与原点的距离最近,x-5y=3故z=3兀+5），在B点取得最小值。解方程组<5兀+3y=15得B点坐标为（3,0）,・・・弘小=3x3+5x0二9。山于经过A点口少L。平行的直线与原点的距离最大,故z=3x+5y在A点取得最大值。解方程纟IIy=x+15x+3y=1535得A点坐标为（一，一）。35抵大=3x-+5x

9、-=1722剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L。的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z取得最大值的点。反之，即为Z取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失谋。事实上，过原点作直线S3x+5y=0,由于使Z=3x+5y>0的区域为直线Lo的右上方，而使刁=3x+5y<0的区域为L)的左下方。山图知z=3尢+5〉，应在人点取得绘大值，在C点取得最小值。—工+],得C(一2,-Dox-5y