考前归纳总结直线和圆的易错题剖析

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1、直线和圆的易错题剖析例题1、求过点(2,1)且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。错解：设所求直线方程为ab?1•••(2,1)在直线上，•••一+—=1,①ab又丄ab=4,即ab=S,②2由①、②得a=4,b=2,故所求直线方程为x+2y=4o剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所囤成的三角形而积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，课将宜线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。事实上，直线与两坐标轴所毎I成的三角形而积为丄制问，而不是丄“。22故所求直线方程应为：x+2y=4,Wc(>/2-l)x-2(a/2-l)y-4=0Wc(V2-l)x-2(>/2+

2、l)y4-4=00例题2、求过点A(-4,2)K与x轴的交点到(1,0)的距离是5的直线方程。错解：设直线斜率为k,英方程为y—2=灯兀+4),2则与x轴的交点为(—4——,0),k21・・・-41=5,解得"——ok5故所求直线的方程为x+5y—6=0。剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”。其实兀=-4也符合题意。例题3、求过点(1,1)且横、纵截距相等的宜线方程。错解：设所求方程为-+2=1,将(1,1)代入得a=2,aa从而得所求直线方程为x+y-2=0。剖析：上述错解所设方程为-+2=1,其中不含横、纵截距为0的

3、特殊情形，事实上，aa横、纵截距为0且过点(1,1)的直线y=x也符合条件。例题4、已知恻的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A(l,2),要使过A点作鬪的切线有两条，求d的取值范围。错解：将圆的方程配方得:U+y)2+(y+l)24-3a24—・・•其圆心朋标为C2-1),半径r当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则AC>r。即](1+专)2+(2+1)2>』4-「2。即。2+4+9〉0,解得aeR剖析:本题的“陷阱”是方程x2+y2+处+2y+/=0表示恻的充要条件,上述解法仅由条件得出AC〉”即d?+d+9〉0,却忽视了d的另一制约条件4一3/〉0。事实上，

4、由。2+0+9〉0及4一3/〉()可得q的取值范围是(--a/3,-V3)o33例题5、已知直线l:y=x+b与曲线C:y=Vl-x2有两个公共点，求实数b的取值范围。[y=x+b错解：由｛,消去兀得：2/-2Z?y+b2-l=0o(*)[y=yj-x2・.・/与曲线C有两个公共点，・・・A=4/?2-8(/72-l)>0,解得一V20y「+y?=_¥〉oyy=与殳0，解得1Wb冬血

5、。例题6、等腰三角形顶点是4(4,2),底边的一个端点是3(3,5),求另一•个端点C的轨迹方错解：设另一个端点的坐标为(x,y),依题意有：网络平台word文档资料下载提供AC=ABf即：J(x—4尸+(y一2尸二J(4一3尸+(2—5尸・・・(兀―4)2+(y—2)2=10,即为C点的轨迹方程。这是以A(4,2)为岡心、以为半径的岡。剖析：因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能重合，口不能为圆A—直径的两个端点，这止是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。事实上，C点的坐标须满足)'工52)'+5故端点C的轨迹方程应为(x

6、-4)2+(y-2)2=10((xH3,y工5;兀工5,y工一1)。它表示以(4,2)为圆心，以为半径的圆，除去(3,5)(5,-1)两点。5x+3y<15例题7、求z=3x+5y的最人值和最小值，使式中兀,y满足约朿条件：vy5x+lx-5y<3错解：作岀可行域如图1所示，过原点作直线S3x+5y=0。由于经过B点且与L。平行的直线与原点的距离最近,x-5y=3故z=3;t+5y在B点取得最小值。解方程纽＜5x+3y=15■得B点坐标为(3,0),・・・张小二3x3+5x0二9。市于经过A点H与5平行的直线与原点的跖离最大,故z=3x+5y在A点取得最大值。解方程组V=X+15+

7、心5'得八点坐标为弓,

8、)。35Z最大=3x-4-5x-=17剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线Ln的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z取得最大值的点。反Z,即为Z取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，rh此造成了解题失误。事实上，过原点作直线Lo：3x+5y=0,由于使Z=3x+5y>0的区域为直线Lo的右上方，而使Z=3x+5y<0的区域为5的左下方。由图知z=3x+5y应在A点取得最大值，在