考前归纳总结解三角形易错题剖析

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1、解三角形易错题剖析例题1、在AABC中,已知a=2,b=2V2,C=15°,求A。错解:由余弦定理,得c2=a2+b2-2a/?cosl5°=4+8—2X2X2后"+血=8—4的4c=V6—o乂由正弦定理,得血人=竺匹=丄C2而0°a,:.B>AO因此A=150°是不可能的。错因是没有认真审题,未利用隐含条件。在解题时,要善于应用题中的条件,特别是隐含条件,全面细致地分析问题,避免餡误发生。正解:同上c=展-迈,sinA=—,•:b>a,2:.B>A9且0°

2、2、在AABC中,若红=凹°_,试判断△ABC的形状。b2tanfi.IUAT,「一亠、mZ1,sin2AtanA错解:由正弦疋理,得一=sin2BtanBsin2AsinAcosB...人八.门八——;—=•,・sinA>0,sinB>0即sin~BcosAsinB•IsinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B。・・・2A=2B,即A=B。故ZABC是等腰三角形。分析:由sin2A=sin2B,得2A=2BO这是三角变换中常见的错误,原因是不熟悉三角函数的性质,三角变换生疏。正解:同上得sin2A=sin2B,:・2A=2k/r+2

3、B或2A=2k/r+/r-2B(kwZ)。jr•:0

4、9分析:如此复杂的算式,计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解:由已知可得c=4,q=佰。由正弦定理,得2R=asinA-sin60°2V393a+b+ccn2-J39=2R=sinA+sinB+sinC3例题4、在ZABC屮,c=V6+72,C=30°,求a+b的最人值。错解:VC=30°,・・・A+B=150°,B=150°—A。由正弦定理,得義二硕而Vs+V2^7)~sin30°Ac/=2(V6+V2)sinA,Z?=2(V6+V2)sin(150°-A)乂VsinA

5、(V6+V2)=4(V6+V2)。故a+b的最大值为4(V6+V2)0分析:错因是未弄淸A与150°—A之问的关系。这里A与150。一A是相互制约的,不是相互独立的两个量,sinA与sin(150a—A)不能同时取最大值1,因此所得的结果也是错课的。正解:VC=30°,・・・A+B=150°,B=150°—A。由正弦定理,bsin(150°V6+V2_sin30°因此a+b=2(V6+V2)[sinA+sin(150°一A)]=2(^6+V2)*sin75°cos(A-75°)=4(^6+近)"+血•cos(A-75°)4=(8+4a/3)cos(A-7

6、5°)<8+4a/3a+b的最大值为8+4^/3o例题5、在不等边AABC中,。为最人边,如果/vF+cS求A的取值范围。错解:*a20。贝ij1.22_2cosA=-~~——>0,由于cosA在(0°,180°)上为减函数且cos90°=0,.A<90°又TA为AABC的内角,AO060°。因此得A的取值范围是(60°,90°)。例

7、题6、在ZABC屮,acosA=bcosB,判断△ABC的形状。错解:在AABC屮,•:acosA=bcosB,由正弦定理得2RsinAcosA=2RsinBcosB:.sin2A=sin2B,A2A=2BK2A+2B=180°・・・A=B且A+B=90°故AABC为等腰直角三角形。分析:对三角公式不熟,不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义,导致结论错误。正解:在厶ABC中,VacosA=bcosB,由正弦定理,得2RsinAcosA=2/?sinBcosB,/•sin2A=sin2B。A2A=2B或2A+2B=180°,AA=B或A+B=90°。故A

8、ABC为等腰三角形或直角三角形。例题7若a,b,c是三角形的三边长,证明长为扬,

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1、解三角形易错题剖析例题1、在AABC中,已知a=2,b=2V2,C=15°,求A。错解:由余弦定理,得c2=a2+b2-2a/?cosl5°=4+8—2X2X2后"+血=8—4的4c=V6—o乂由正弦定理,得血人=竺匹=丄C2而0°a,:.B>AO因此A=150°是不可能的。错因是没有认真审题,未利用隐含条件。在解题时,要善于应用题中的条件,特别是隐含条件,全面细致地分析问题,避免餡误发生。正解:同上c=展-迈,sinA=—,•:b>a,2:.B>A9且0°

2、2、在AABC中,若红=凹°_,试判断△ABC的形状。b2tanfi.IUAT,「一亠、mZ1,sin2AtanA错解:由正弦疋理,得一=sin2BtanBsin2AsinAcosB...人八.门八——;—=•,・sinA>0,sinB>0即sin~BcosAsinB•IsinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B。・・・2A=2B,即A=B。故ZABC是等腰三角形。分析:由sin2A=sin2B,得2A=2BO这是三角变换中常见的错误,原因是不熟悉三角函数的性质,三角变换生疏。正解:同上得sin2A=sin2B,:・2A=2k/r+2

3、B或2A=2k/r+/r-2B(kwZ)。jr•:0

4、9分析:如此复杂的算式,计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解:由已知可得c=4,q=佰。由正弦定理,得2R=asinA-sin60°2V393a+b+ccn2-J39=2R=sinA+sinB+sinC3例题4、在ZABC屮,c=V6+72,C=30°,求a+b的最人值。错解:VC=30°,・・・A+B=150°,B=150°—A。由正弦定理,得義二硕而Vs+V2^7)~sin30°Ac/=2(V6+V2)sinA,Z?=2(V6+V2)sin(150°-A)乂VsinA

5、(V6+V2)=4(V6+V2)。故a+b的最大值为4(V6+V2)0分析:错因是未弄淸A与150°—A之问的关系。这里A与150。一A是相互制约的,不是相互独立的两个量,sinA与sin(150a—A)不能同时取最大值1,因此所得的结果也是错课的。正解:VC=30°,・・・A+B=150°,B=150°—A。由正弦定理,bsin(150°V6+V2_sin30°因此a+b=2(V6+V2)[sinA+sin(150°一A)]=2(^6+V2)*sin75°cos(A-75°)=4(^6+近)"+血•cos(A-75°)4=(8+4a/3)cos(A-7

6、5°)<8+4a/3a+b的最大值为8+4^/3o例题5、在不等边AABC中,。为最人边,如果/vF+cS求A的取值范围。错解:*a20。贝ij1.22_2cosA=-~~——>0,由于cosA在(0°,180°)上为减函数且cos90°=0,.A<90°又TA为AABC的内角,AO060°。因此得A的取值范围是(60°,90°)。例

7、题6、在ZABC屮,acosA=bcosB,判断△ABC的形状。错解:在AABC屮,•:acosA=bcosB,由正弦定理得2RsinAcosA=2RsinBcosB:.sin2A=sin2B,A2A=2BK2A+2B=180°・・・A=B且A+B=90°故AABC为等腰直角三角形。分析:对三角公式不熟,不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义,导致结论错误。正解:在厶ABC中,VacosA=bcosB,由正弦定理,得2RsinAcosA=2/?sinBcosB,/•sin2A=sin2B。A2A=2B或2A+2B=180°,AA=B或A+B=90°。故A

8、ABC为等腰三角形或直角三角形。例题7若a,b,c是三角形的三边长,证明长为扬,

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