整數的奇偶性分析完稿1012ANS

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1、一、從遊戲談起一個簡單的開關燈的遊戲問題教室裏有50盞編號為“1，2，3，50”的燈，完全都是關上的，50名學生依次進來，第2•個學生把編號為i的倍數的電燈上的拉線開關拉一下，問：最後教室裏哪些編號的燈亮著？1、4、9、16、25、36、49二、基礎知識整數中，能被2整除的數是偶數，反之是奇數，偶數可用2k表示，奇數可用2k+l表示，這裏k是整數.關於奇數和偶數，有下面的性質：1、奇數H偶數（奇數不會同時是偶數）2、奇數士奇數二偶數，偶數士偶數二偶數，奇數士偶數二奇數※奇數個奇數之和仍為奇數；偶數個奇數的和是偶數；任意

2、多個偶數的和是偶數※如果兩個整數的和（或差）是偶數，那麼這兩個整數的奇偶性相同；如果兩個整數的和（或差）是奇數，那麼這兩個整數一定是一奇一偶3、奇數x奇數二奇數，偶數x偶數二偶數，奇數x偶數二偶數※任意個奇數之積仍為奇數；，n個偶數的乘積是2〃的倍數※乘式中有一個是偶數，則乘積是偶數※如果若干個整數的乘積是奇數，那麼其中每一個數都是奇數；如果若干個整數的乘積是偶數，那麼其中至少有一個數是偶數4、m,neZ，則m-｝-n與m-n具有相同的奇偶性（兩個整數的和與差的奇偶性相同）5、兩個連續整數中必是一個奇數一個偶數相鄰二整

3、數之和必為奇數；相鄰二整數之積必為偶數6、奇數的平方除以8餘1，偶數的平方是4的倍數7、正整數斤為平方數的正因數個數為奇數正整數斤為非平方數on的正因數個數為偶數；8、整數等差數列中，奇數項與偶數項的奇偶性分別相同；9、任何一個偶數n—m-2k，加為奇數，k為正整數。以上性質非常簡單易懂，但如果能巧妙應用，卻能解決很多問題。應用整數的奇偶性質去解題的方法叫做奇偶性分析。三、例題選講代數式中的奇偶問題例1：在1，2，3，2011中的每一個數的前面，任意添上一個“+”或“-”，那麼最後運算的結果是奇數還是偶數？最後運算所得

4、的奇偶性同1+2+3+…+2011=1006x2011的奇偶性，即為偶數ao亠x-2012y=nP例2：已知n是偶数，m是奇数，方程组｛’的解｛'是整數，llx+15y=m[y-^l則下列何者正礦。（A）p、q都是偶數.（B）p、q都是奇數.(C)（C）p是偶數，q是奇數（D）p是奇數，q是偶數與整除有關的問題例3：設1，2，3，…，9的任一排列為0

5、,。2，。3，・・・。9。求證：(4-1)(。2-2)他一3)・・.@9-9)是一個偶數例4:設a，b是自然數，且滿足關係式(11111+^)(11111-/?)=123

6、456789求證：a-b是4的倍數・圖表中的奇與偶例5：在3x3的方格(a)和(b)中，每格填“+”或“-”的符號，然後每次將表中任一行或一列的各格全部變號試問重複若干次這樣的“變號”操作後，能否從(a)表變成為(b)表.++—++————+————++—————+不能(a)(b)例6:下圖是某一個淺湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸.(1)如果P點在岸上，那麼A點在岸上還是在水中？水中(2)有一個人從A點走到圖中的某一點B，他下水時脫鞋，上岸時穿鞋.如果他脫鞋次數與穿鞋的次數和是個奇數，那麼B點是在岸上還是在水中？岸

7、上有趣的應用題例7：7個杯子杯口朝下放在桌子上，每次操作是翻轉4個杯子(杯口朝下的翻為杯口朝上，杯口朝上的翻為杯口朝下)，問經過若干次這樣的操作，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？不能例8:黑板上寫著三個整數，任意擦去其中一個，將它改寫成其他兩數的和減去1，這樣繼續下去，最後得到17，2011，2013，問原來三個數可能是2，2，2嗎？不可能例9:某次數學競賽，共有40道選擇題，規定答對一題得5分，不答得1分，答錯倒扣1分・證明：不論有多少人參賽，全體學生的得分總和一定是