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《数学学年论文毕业论文矩阵的标准形及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、矩阵的标准形及其应用摘要:关于矩阵有很多方面的研究，而其中的标准形无论在理论的应用上都有十分重耍的地位，我们从等价标准形、相似变换下的约当标准形、合同标准形、止交变换和入■矩阵标准形等方面的讨论。关键词：等价变换，相似变换，合同变换，正交变换一、等价标准形及其应用定义1:设A是数域F上MxN矩阵，P为任意町逆M阶矩阵，Q为N阶可逆阵，A-PAQ称为A的等价变换。若A通过等价变换可化为B,则称A与B等价，记作A=B定理1:数域F上的任意MXN矩阵(秩A=r),均可以通过等价变换化为唯一的标准形，即存在m阶可逆阵P和
2、可逆n阶方阵Q,使(Ir0)PAQ=rlo0丿其中等号右边的矩阵称为A的标准形。(\定理1说明：AQ=(A.,0)PA=2其中A.为mxn矩阵，A2为rxn0-矩阵，且秩A严秩仏円矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征，而且等价变换保证秩不变，这一点在解决有关问题具有特殊的作用。下而举例说明。例1.设A是mxn矩阵，B是nxp矩阵，求证：秩ABN秩A+秩B-n(A证明：作矩阵C=对于A与B屮线形无关的任意向量组1-人3丿eS人0$和0i，02A,0k，取C中apa2A,as与卩、，卩占，0&，所在列向量(AAD、
3、C
4、AC心线形无关，因而秩CN秩A+秩B而C二八I-人0丿所以秩AB=秩C・G秩+秩B-n例2・已知三矩阵九“，B“,5$秩A=m秩C=p,且ABC=0,求证：B=0证明：由定理1说明可得，存在可逆的m阶方阵P和s阶可逆阵Q,使(KPA=1CQ=(CC2)其中A为n阶可逆，仏为(m-n)xn阶矩阵，C】为1血丿_"p阶可逆阵C2为PX(P-S)矩阵((ABC*于是PABCQ=1B(CC2)=11=0,所以得B=01人2丿I**丿由例1与例2可以看出，等价变换保"秩》性，在解决有关问题时的确有独到得作用，而
5、等价标准形是矩阵在“秩”得描述下最为简单得形式。二、相似变换下得约当标准形及其应用定义2：设A是n阶方阵，对任意n阶可逆阵P,A-P~'AP称为A的相似变换。若矩阵A可相似变换为矩阵B,则称B与A相似，记作：A〜B定理2:设A是复数域上的n阶方阵，则在复数域上A必相似于某一约当矩阵J,且J唯一(人的顺序除外)仏1)其中八丿2Ji=入I0<人丿k01<&丿SjxSjYsi=ni=i-1,2,•…-k相似变换是等价变换，因而它具有保“秩”性。除次以外和似变换还具有保特征性，如特征多项式，特征根在相似变换下不变，而这
6、一点是等价变换没有的性质。这正是相似变换与等价变换的不同所在。利用相似变换的保特征性与矩阵A的约当标准形理论也可以解决一系列问题。下面举例说明。例3.设A为n阶方阵，入(i=l,2,……n)是A的特征根，贝U(1)若f(x)为任意多项式，有f(A)的特征根为/U),/(22)A/(Aj（2）4'的特征根入A血（3）若A可逆，则f的特征根分别为久1几2（4）若A可逆，则"的特征根为三=1,2,……nA仏*、证明（1）由定理2可知，存在可逆阵P使P~}AP=°°0*f/W*、于是P~]f（A）P=/（p-'APJO
7、I/UJ>所以/（A）的特征根为/Q）,A/UJp、（2）因为pa（p）t=咖（厂丫=（p+p），"=o,*2k心丿所以A'的特征根为入,免2A血（3）因为A可逆，所以&H0,i=l,2,……nP']A'[PP'[AP=If11)/.石无00所以P~'A~iP=J~l=0，英屮丿「=0丄、丿A21<力i=l,2,k,&为i块对角线上元素。所以八的特征根分別为石，石,A石（4）因为A可逆，所以A*=AA-1于是P~{A^P=AP~iA^P=A、(1未)*=TT/lj01)1所以A的特征根为亍日,2,……n
8、特别是在化简数字矩阵时，相似变换与矩阵A的约当矩阵J有时会起到非凡的作用，使问题变得极容易。4"7~7-1A的特征根为1,1,-1且经过计算匚八2、匚c2)10—10-77011,P-1=01——1414001001丿<丿解：rh题意可知,则有P-]APP<100、01丿（P不唯一）先进行约当标准形后计算乘幕，这<100、"100、100rl00、则有A=P010P~［则可知=P010p1=p010<001丿<001丿<001丿P"=1-般而言，关于数字矩阵的乘幕计算,样极大地减少计算量。三.合同标准形及其应用
9、定义3：设A为n阶矩阵，P为任意n阶可逆阵，/IPfAP称为A的合同变换定理3：设A为n阶实对称阵，则存在可逆阵Q满足QfAQ=0O<0丿其中秩A=P+S,P是A的特征根个数，叫做惯性指标，S是A的负特征根个数,P・S称为符号差。0称为A的合同标准形。0<°丿定义4：若P=m则称A为正定阵；卩=秩A
