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《数学学年论文毕业论文分块矩阵的性质及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、分块矩阵的性质及其应用摘要：本文介绍分块矩阵的定义、分块方法、运算性质，并通过例题说明分块矩阵理论在高等代数中的广泛应用。关键词：分块矩阵、初等变换、应用、运算性质。0引言矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。本文就分
2、块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面的应用作了较为深入的研究。1分块矩阵的定义：把一个矩阵，在行的方向分成块，在列的方向分成块，称为的分块矩阵，记作，其中称为的子块，它们是各种类型的小矩阵。例：把一个5阶矩阵用水平和垂直的虚线分成四块，如果记：=就可以把看成由上面4个小矩阵所组成，写作：=10并称它是的一个分块矩阵，其中的每一个小矩阵称为的一个子块。常用的矩阵分块方法，除了上例中的4块矩阵，还有以下几种：（1）按行分块=其中(2)按列分块=其中(3)当n阶矩阵C中都集中在主对角线附近，有时也可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩
3、阵）：C=其中是阶方阵()如：==其中，，；矩阵分块的第一个好处是使得矩阵的结构显得更清楚，如上面的矩阵（1）中，的左上角是一个3阶单位阵，左下角是零矩阵。第二个好处（也是最重要的好处）是矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行，从而把高阶矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算。这在下面的研究中会得到充分的体现。矩阵分块的目的在于简化矩阵的运算，对矩阵进行分块时，要根据实际需要来进行。102分块矩阵的运算性质下面我们来研究分块矩阵的运算性质：（1）分块矩阵的加法与数量乘法设都是矩阵，并且对用同样的方法进行分块：=其中都是矩阵，即和是同型矩阵，那么=设是矩阵，把进行分块：=，为任意数，则=(2)分块矩阵
4、的乘法下面的定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法。：设A为矩阵，B为矩阵，若对A，B作如下分块：==(1)…10则，其中=(2)证明:记…下面证明将看作以数为元素的矩阵,有首先,为矩阵,基于(1)的分块方式及(2)式,G为矩阵,且有==故将看作以数为元素的矩阵,也是一个矩阵。其次，的元必位于分块矩阵的某一子块之中，不妨设是的（）元素，即有：=+1=+1由式有：可知的（）元素应是的第行分别与的第列的相应元素乘积的和。由式可知，的第行元素位于中第行，的第列元素位于中第列再注意到对所作的分块，可得：+….+=这说明,矩阵的元素恰好等于矩阵的元素,基于以上两点可得例:设矩阵10===其中为三
5、阶单位阵,为二阶单位阵,0=矩阵===,其中=为二阶单位阵.在计算时,把的各小子块看作元素,然后按通常的矩阵乘法把它们相乘,于是===容易验证,这个结果与按矩阵乘法法则直接计算的结果是一致的。注意：上例中A的列的分法与B的行的分法是一致的，也就是说我们遵循了以下规则的列组数等于的行组数。的每个列组所含的列数等于的相应行组所含的行数。(3)分块矩阵的转置先看一个例子：设=10记则可以分块成：=因此我们有：=一般地，设A=是一个分块矩阵，那么分块矩阵取转置的规则：第一步：把的每一块都看成元素（数）取转置第二步：对的每一块取转置。（4）分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换是处理分块矩阵有关问题
6、的重要工具，由文[3]我们可以推广得到如下定义：定义：以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换用一个行列式不为零的方阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行。互换两块行的位置。把一个块行的（矩阵）倍（即这个块行里每一个小矩阵都左乘或右乘一个矩阵）加到另一块行上。类似地，我们可以定义分块矩阵的初等列变换。例：设阶矩阵分块表示为：=，其中为方阵，且和可逆，证明：-可逆。证明：先对分块阵作初等变换，将其化为上三角块矩阵。为此，根据有关结论（[3]193，（3）），可左乘矩阵其中为单位阵，其阶数分别为的阶数，于是：10，=由于=1，，，所以=故矩阵[]可逆。3分块矩阵的应用分块矩阵是矩阵的一种推广，与普通矩
7、阵不同，分块矩阵的元素可以是数，也可以是小矩阵。它的引入使矩阵这一重要工具的使用更广泛，下面举例说明分块矩阵的应用：（1）矩阵求逆例：设矩阵=,求的逆。解：将分块如下=其中,,,;如果可逆，可设,这里均为二阶方阵，由=有：==则有显然有可逆，由上面的等式组可求得：10所以的逆为:.（2）用分块矩阵解决行列式问题例：设行列式,试展开.解：把矩阵进行分块如下:=;当,,可逆。此时选取矩阵：则有：上面等式两边取行列式，便有;但是10这样有
