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《数学学年论文毕业论文循环矩阵的性质及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、循环矩阵的性质及其运用摘要：利用多项式生成矩阵的思想，讨论循环矩阵的性质、循环矩阵求逆的方法、并得到了n阶方阵可以对角化的一个充要条件。关键词：循环矩阵、特征值、多项式、循环矩阵对角化0引言“特型矩阵(patternedmatrix)"泛指元素呈现可识别模式的矩阵，这样的矩阵是大量存在的。例如：对称矩阵、自伴矩阵、以及相应的斜对称矩阵和斜自伴矩阵，Jorckm形、Hessenberg形；述有反矩阵、Vandermonde矩阵等等。自然，循环矩阵也是特殊矩阵的一种，它普遍存在于许多教科书中，但大多数教科书对循坏矩阵的性质进行分析总结，木文将对此进行讨论。1定义1.1＞设n・l次多项式f(x)=
2、«0+a{x+a2x2+・・.+%_』"[A为n阶矩阵，则称f(A)为多项式f(x)关于矩阵A的生成矩阵，f(x)为矩阵f(A)的n-1次生成多项式。1.2山、在复数域C上，形如a2…an-do…an-2A=an-2an-%…an-3(1)•••••••••••••••a2a3…00■的矩阵称为关于元素列do，。]®，…，碍一
3、的循环矩阵(circulantmatrix)循环矩阵(1)中的每一行是由前一行的元素右移一个位置，并将“溢出”的挪到左边第一个位置而组成的。循环矩阵A完全由第一彳亍来确定，在有的著作里用记号circ(do，Q],⑵从(1)直接看出，循环矩阵A沿平行于主对角线的每一
4、对角线上的元素是和等的，A是关于次对角线对称的。1.3、循环矩阵010001K=0001000000nnxn••••••Xw是重要的特殊矩阵，称为循环置换矩阵(cyclicpermutationmatrix)或基本循环矩阵或移位矩阵。利用(2)的记号，K三circ(0,l,0,・・・,0)令K产K，(i=l,2,...,n)称E,匚,心,…,心_为循环矩阵基木列。2循环矩阵的性质在讨论循环矩阵的性质前，我们先來讨论一下循环矩阵基木列的特点。定理1：设keRnxn是基本循坏矩阵，则:(1)E,£,心，…心“都是循环矩阵,K卄产Ki,即K”+‘二K'(2)K”为单位阵(3)n阶循环矩阵K有n个
5、特征根：(.2兀伙一1)).10/Jk=expik二1,2,…，n)(4)k与任一循环矩阵Aec,,xw可交换：AK二KA,(5)关于元素列闵，％,偽，…，的n阶循环矩阵A可用循环矩阵基本列表示为Ap°E+eK+d2K2+・・・+q”t;反之，能用循环矩阵基木列线性表出的矩阵，则一淀是循环矩阵(K°=E)O证明：(1)(2)(4)可以利用定义直接验证。(3):K的特征多项式为Z-1,它有n个不同的根，则K的特征值为1,&,少…，严;英屮0=exp卜互］即有：/Jk=expi~—(k二1,2,…n)I〃丿(5):可以直接从定义(2)(3)推出下面讨论循环矩阵的性质：性质2.1：同阶循环矩阵
6、A,B的和矩阵A+B为循环矩阵性质2.2：同阶循环矩阵的乘积AB为循环矩阵，且AB=BA性质2.3：可逆的循坏矩阵的逆矩阵为循坏矩阵证明:性质2.1:设A二a°+牛兀+・・・+色"1,B二仇疋+b&】+.…仇且/(x)=aQ+d]X+...+a“_]X"T,g(x)=b()+»+・・・+仇_]兀"7则心/⑹B二g(QA+B=f(k)+g(k)=(a0+b0)k0+(®+b)k'+..・+(%+hn_})kn~]—circ(a。+%,a〕+也,•••,％+b”)即A+B仍为循环矩阵性质2.2：AB二/依)g@)二g依)张)讹)二BA这里力©)是一个次数不高于n-1的多项式，由此得A,B是循环矩
7、阵，且有:AB=BA性质2.3:我们只需找到n阶循环矩阵B=b°k。+冰'+・・・+仇_也门,勺为待定系数i二0,1,2,…，n-l,使得AB=Io但是，AB=(aQbQ+仏少+an_2b2+...+Q〕虹+("()+aQb}+an_}b2+...+a2btl_jk{+・•・+(6」人+an_2h}+an_.h2+...+d(Q-)严要使ABN必须且只须下列方程组成立叭+仇少+an_2b2+...+axbn_x=1<%仏+a{}b}+an_}b2+...+a2bn_.=0(3)aS+an_2b{+an_3b2+...+aQbn_{=0式子(3)是以^.,1=0,1,2,-,n-1为未知数,A
8、的传置矩阵川为系数矩阵的线性方程组.由题设
9、A
10、=Af ，故⑶有唯一解b„2,…,，而B就是A的逆矩阵,且是循环矩阵。上述证明过程中不仅肯定了可逆循坏矩阵A的逆矩阵是循坏矩阵，而II给出了求解其逆矩阵的推导过程。事实上，如果我们令=防他,勺A=circ(aQ,ai,X=@0，勺上2，・・・,乞_])Ex=(1,0,0,...,0)则(3)式可表示为A'X'=E；因此求循环矩阵A的逆矩阵的问题可转化为求方程
