高中数学第二讲证明不等式的基本方法单元整合素材新人教A版选修4-5

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1、第二讲证明不等式的基本方法单元整合知识网络证明不等式分析法的基本方法专题探究专题一比较法比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件.作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论.其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.应用1

2、设井b,求证：才+3方2>2方（臼+方）.提示：用作差比较法证明.作差比较法的步骤是：①作差；②变形；③判断

3、差与0的大小关系；④下结论，其中最关键的步骤是②③.证明：3+3庁）一2方（日+方）=曰'+3方$—2ab—2比=/—2ab~~8=（$—方）1因为aHb,所以日一从而（a—Z?）2>0,于是（才+3圧）一2力（日+/?）>0.所以孑+3用>2方（臼+方）.,…I卄In2应用2若臼A.al,且曰>0,方>0,b>a.a51n

4、2,又V-=77T^=log2532>b且$>0，c>0,c21n5.a>c.Ac

5、a,b,c为△/矽C的三条边，求证：a+l）+c<2（gb+bc+c（i）提示：应用余弦定理解决.证明：设臼，方两边的夹角为0,则由余眩定理，得：“a+If—ccos心2曲因为0VJT,Acos“VI,2

6、j22・：:<1,艮卩a+1）—c<2ab.2ab同理可证：卅+/一/<2方c,

7、不等式出发，逐步逆求使其成立的充分条件（执果索因），最后得到充分条件是已知（或已证）的不等式.当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般说来，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用.应用设自>0,方>0,求证：a+IdaId+aId.提示：此题可以用分析

8、法、综合法和比较法来证明，这里我们用分析法证明.证明：要证a+1)^cit)成立，即证+(Z?：＞—a2/?3)MO成立，即证a(a—/))+Z?3(I)—a}$0成立，即证(/—F)&—F)MO成立.而&＞0,方＞0,当白2方＞0或方M白＞0时，与的符号都相同，所以(/—//){a—If)$0成立.所以原不等式成立.专题四反证法运用反证法证明不等式，主要有以下两个步骤：①作出与所证不等式相反的假设；②从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题

9、.涉及''都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题，也常用反证法.页］用反证法证明钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.解：已知：如图，在中，ZCA/r＞90°,〃是％的中点.a求证：AIX^BC.证明：假设初⑴若初却C,由平而儿何屮定理“若三角形一边上的屮线等于该边长的一半，那么,这条边所对的角为直角”，知Z^=90°,与题设矛盾.所以ad=A^bc.(2)若AD*BC,国为BD=DC=；BC,所以在炒屮，AD＞BD,从而ZB>ZBAD.同理AOACAD.所以ZB+ZOABAD+ZCAD,即AB+^OACA

10、B.因为Z〃+ZC=180°—ZCAB,所以180°—ZCAB>ZCAB,则ZCAB<9Q°,这与题设矛盾.由⑴⑵知AD<^BC.专题五放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式的一边适当地放大（或缩小）以方便化简，并使它与不等式的