资源描述：
《高中数学第二讲证明不等式的基本方法21比较法素材新人教A版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、比较法知识梳理1.比较法的种类比鮫法一般分为两种:和・2.作差比较法(1)作差比较法的证明依据:・(2)基本步骤:①；②；(3);(4).3.作商比较法⑴作商比綾法的证明依据:.⑵基本步骤:①;②;③;④.知识导学比较法是证明不等式的最基本，最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用.在具一般步骤屮，变形是证明推论屮一个承上启下的关键，变形的目的在于判断等号或分了分母的人小关系，而不是考虑变形后的表达式能否化简或值是多少.变形所用的方法要貝体情况具体分析,可以配方，因式分解，可以运用一切有效的恒等
2、变形的方法.-般地,证明幕，指数不等式吋常用“商值比较”法，证明对数不等式吋常用“差值比较法”.当“差”或“商”式中含有参数时，一般情况下都要对参数的取值进行分析，应引起注意的是比较法证明不等式问题经常借助于两数的单调性.疑难突破1.比较大小关系的一般方法在比较大小关系的问题小，很多情况下是可以直接作差或作商比较的，但是为了得到准确的结果，可以先用特殊值赋值的方法对最后的结果进行预猜，这样在比较的过程中，不会因为疏忽或其他原因造成结果的错误，尤其是在多个数或数学式比较大小时，为避免两两比较的烦琐，可以提前预测，再
3、进行比较•还有一类较为特殊的比较人小问题,如数列问题屮，两个数或数学式的大小可能会随一些变屋或参数的不同范围而发生变化，这就要注意对相关问题的讨论，大小关系一定或不一定，是首先应判断的.2•作商比较法中的符号问题I)_b在作商比较法中,—>1=>b>a是不正确的，这与a,b的符号有关，比如若a,b>0,由一>1,aab可得b>a,但若a,b<0,则由匕>1得出的反而是b4、通过特殊值的方法进行一定的猜测，进而给出一定的理性推理或证明过程.典题精讲【例1】已知a^l,求证Jg+1一4a<4a一Jd-l.思路分析：因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可川求差法进行证明.又因为a^l,所以不等式两边都大于0,故述对以用作商法进行证明.11JQ+1+』ClJq—1—Jq+1(JCl+]+V^)(V^+Jq—1)/•y]Cl+1-v—Jd—1•证法二:¥¥丄〈1’又a/^+1-4a>0,y/a-y/a-l>0,石应Qa—Qa—Qa+・••原不等式成立.黑色陷阱：证法一中，
5、不施行有理化，谋认为JZT+J荷-2需>0,同样，在证法二中，误以为V^+T-罷〉罷-需二？.排除思维障碍的方法是要対不等式进行严格的论证.另外,根据左，右两边都含无理号的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号,都大于o吋,两边平方是等价变形，否则要改变不等号./_b?a—b【变式训练】设a>b>0,求证：；°〉幺殳・cra+b思路分析：可用作差比较法或作商比较法进行证叽证法一:a2-b2a-ba1+/?2a+b(a_b)[(a+b)2_(/+，)](a2+//)(g+Z?)>0,所以原不等
6、式成立.2ab(ci一b)(cr+h~)(6f+b)证法二：牛?右边(a+b)22abUa2+b2・••原不等式成立.【例2］（经典冋放）设a+b〉0,n为偶数，求证：・+以M丄+丄.anbnab思路分析:注意到不等式两边的幕的结构，作差后，有公因式，即可化为儿个因式相乘,即而可判断等号.bn'｛严11证明:1_一_一anbnab（/-小严-护）M)当a>0,b>0时,(an-bn)(an_1-bn_1)NO,(ab)n>0.所以(NT)(厂Wo.(0)an~lIJ1故——+——一一9—.anbnhah当a,b有
7、一个为负值时,不妨设a>0,b<0,且a+b>0,所以a>
8、b
9、,又n为偶数.所以(an-bn)(an_1-bn_l)>0.又(ab)n>0,故(宀0")(宀丹)〉°(於)综上,可知原不等式成立.黑色陷阱：本题极易造成以下错解:••广厂11•1一—一—anbnab_(a“"XL_严)(^)，又n为偶数，・•・(ab)n>0,又aM)*1和an_,-bnl同号.da”bn故匸+D+丄.anbnab错谋的原因是:n为偶数时,a-bnftff不一定同号，这里忽略了在题设条件a+b>0的情况下，应分a>0,b>0和a,b
10、有一个负值两种情况加以讨论.【变式训练】己知a,bGR+,neNt,求证:(a+b)(an+bn)W2(列+畀).思路分析：木题可以用作差比较法，但差式屮a,b的人小关系需要讨论.证明:V(a+b)(an+bn)-2(an，,+bn，1)=an+l+abn+ba+bn+1-2an+1-2bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(b'-a11).⑴若a>b>
