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《高中数学人教版选修4-5习题：第四讲42用数学归纳法证明不等式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1.用数学归纳法证明用N）,第一步应验证（）A./2=1B・n=2C・n=3D・n=4解析：由题意心3知应验证n=3.答案：C2.用数学归纳法证明‘T+寺+扌2丄1V"SWN+,刀＞1）”时，由n=k{k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A.2*-1B.2*—1C.2kD.2*+1解析：增加的项数为（2小一1）一（2*—1）=2小一2"=2＜故选C.答案：C1111973.用数学归纳法证明不等式1+空+2+・・・+产＞横（/7丘血）成立，其初始值至少应取
2、（）A.7B.8C.9D.101_丄1112〃1解析：左边=1+㊁+玄+・・・+产=—=2一产，代入验证可知〃的最小值是&1_2答案：B4.用数学归纳法证明"士+忌+忌+・・・+士彩（用眄”时，由n=k到心&+1时，不等式左边应添加的项是（）A12（A+1）R丄+丄2A+r2A+2C丄+丄—丄-2k+1^2k+2k+1111__1D2k+1十2&+2解析：当n=k时，不等式为k+r/c+2^〒£+&_24・当n=k+1时,左边=(A+l)+k+++…+(&+1)+1十(A+1)+2十十(A+l)+(A-1)=+HF++(A+1)+(A+l)k+2rk+^〒&+&十2A
3、+1十2&+2，比较n=k与Z2=A+1的左边，可知应添加的项为爲+磊一击•答案：c1.若不等式士+出+・・・+舟〉佥对大于1的一切自然数刀都成立，则自然数刃的最大值为()A.12B.13C.14D.不存在解析：令弘)=士1+治+・・・+舟，取刀=2,3,4,5等值发现fS)是单调递减的，所以[fS)]4务所以由H2)>吕，求得加的值.故应选B.答案：B二、填空题2.用数学归纳法证明2*N//+t7+2SwN+)时，第一步的验证为解析：当力=1时，21+>12+1+2,即4M4成立.答案：2性『+1+23.在△磁中，不等式*+*+扫舟诚立；在四边形如中，不等式++*4
4、+舟鼻薯成立；在五边形磁％中，不等式*+寺鲁成立.猜想在门边形AxAi—An中，类似成立的不等式为解析：由题中已知不等式可猜想:[[12无+玄+・・・+无$5=2)兀且底眄•答案：余牙…+抽(/)”脚且用N*)1.在应用数学归纳法证明“1+*+*+・・・+(刀；1)2＜訥”时，从n=k到卫=k+lt不等式左边增加的项是・解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从〃开始；二看“尾”,当/?=&时，尾项的分母为a+1)2,n=k+1时尾项的分母为(A+2)2；三看中间，如果忽略平方，1,2,3,…，S+1)这些数都是连续相差1时.因此，从n=
5、k到刀=&+1只增加了一项，即毎乙)2(&EN+)・答案：(A+2)2三、解答题9.试证明：1+…+^^V2^^(z?WN+)•证明：(1)当刀=1时，不等式成立.⑵假设n=k(k2,圧N+)时，不等式成立，即1+±+才…+启那么刀=&+1时，1a/a+i2yjk(&+1)+1y[k+i&+(&+1)+1y[k+i=2^k+l.这就是说，n=k+1时，不等式也成立.根据(1)(2)可知不等式对/7WN+成立.10.已知函数Aa)=^x—x,数列｛禺｝满足条件：01M1,且$卄1鼻尸(an+1),证明：an$2"—1(刀訥・证明：由f（力=^X—X9得f（力=#—1・
6、因此亦"f（&+1）=（5n+1）2—1=an{an+i）,⑴当刀=1时，£124=21—1,不等式成立.（2）假设当n=k时，不等式成立，即越当n=k+l时，型+i$越（鸟+2）M（2“一1）（2*—1+2）=2"—1.又®,所以22^2"+1,所以n=k+1时，弘^$2小一1,不等式成立.根据⑴和⑵知，对任意用N+,an^2n-1成立.B级能力提升1.用数学归纳法证明不等式1+*+£+…+右<£5）（/7$2,用N+）的过程中，由n=&到n=k+1时，左边增加了（）A.1项C.项解析:1+*+*+・・・卜2小1(1+£+#+・••1共增加了2"项.答案：D2.利用
7、数学归纳法证明发；；二；:參［JV血二I时,n的最小取值处应为O解析：/2o=l时不成立，处=2时，~<^3,再用数学归纳法证明，故处=2.答案：23.已知数列⑷的前刀项和为S,且满足0=*,禺+2$$一1=0（力$2）・（1）判断{打是否为等差数列，并证明你的结论；（2）证明：£+£+・・・+£W*—右.⑴解：S=£i=7所以g=2・当刀M2时，Qn~Sn—Sn-19即Sn—$-1=—2SnSn-、所以»2.故｛昔是以2为首项、2为公差的等差数列.(2)证明：①当/2=1时，不等式成立.②假设n=k(k2,且&WN+)时，不等式成立，即5?+£
