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《高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式素材1新人教A版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.2用数学归纳法证明不等式庖丁巧解牛知识•巧学一、数学归纳法证明不等式的基本步骤（1）证明当n取第一个值n。（如斫1或血=2等等）时，命题正确；（2）证明如下事实:假设当n二k（keN且k*）时,命题正确,由此推出当n二k+1时命题也正确.完成了以上两步后，就口J断定命题对于从珈开始的所冇自然数都止确.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n二k到n二k+1的转化，这个转化耍求在变化过程中结构不变，先比较n二k少n二k+
2、l这两个不等式间的差界，以决定n二k时不等式做何种变形.一般地，只能变出n二k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性來完成由n二k成立推出n二k+1不等式成立的证明.辨析比较数学归纳法与其他证明不等式的方法数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用來证明与H然数有关的不等式•而其他证明不等式的方法运用比较广泛•但貝体运用时，各自都有自己的具体要求，比如数学归纳法就冇严格的两个步骤，反证法就冇严格的格式（必须先假设结论的否命题，再推出矛盾,最示否定假设，肯定原命题），分析法也有自己的格式（综合
3、法的逆过程），综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数冇关的不等式其他方法不如数学归纳法來得简洁，在数学归纳法的第二步中，也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.二、数学归纳法证明不等式的重点和难点1•重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路.2.难点：在证明中，对Tn=k+l吋的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点.耍注意分离出该命题屮，可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明）,即假设f
4、（k）＞g（k）成立,证明f（k+l）＞g（k+1）成立•对这个条件不等式的证明，除了灵活运用作差比鮫法、作商比鮫法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外；放缩法作为证明不等式的特冇技巧，在用数学归纳法证明不等式时，更被经常使用.误区警示数学归纳法证明不等式，不能简单套用两个基本步骤，一定要用到归纳假设，对于n二k+1时的证明注意以卜•儿点：（1）在从n二k到n二k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n二k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（
5、3）活用起点的位置;（4）冇的试题需要先作等价变换.三、数学归纳法证明不等式的运用范围数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法，在我们高中数学中，经常会以数列和函数为知识载体，构造一些为口然数有关的命题，数学归纳法是证明它们的有效手段，但不是唯一手段.联想发散在上一节中，我们还学习了归纳猜想证明的方法，在数学归纳法证明不等式的运用中，可不可以也先根据题FI的条件归纳般规律，大胆猜想出一个不等式的命题，然后运用数学归纳法来证明呢？典题•热题知识点一：命题的结构特征例1求证：111—>—,n>2,n^N.n+
6、n+2n+33n6思路分析：本题在由尸k到n=k+l时的推证过程中，丄不是第k项，应是第2k项，数列3k各项分母是连续的口然数，最后一项是以3k收尾.根据此分母的特点，在3k后而还有3k+l、3k+2,最后才为3k+3,即3(k+1).不等式左端增加了一!一，—共三项，而不3k+l3k+23R+3是只增加一1—一项.3伙+1)证明：(I)当n二2时，右边二一+—+—+—>—,不等式成立.34566(II)假设当n二k(k$2,kGN)时命题成立，即丄+—+…+丄>).R+lk+23k6则当n=k+l时，1111111
7、+111伙+1)+1伙+1)+23k3k+3k+23伙+1)I11z1111、—F+F(FH)£+1k+23k3k+l3k+23£+3k+l、5/11.11、〉—F(11)63k+l3£+23k+3£+1>1+(13R+3]1+323+323rH)=i+(3x3^356所以当n二k+l时，不等式也成立.由(1)(II)可知，原不等式对一切nM2,nWN*均成立.误区警示错谋的思维定式认为从n二k到n二k+l时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征.例2已知,Sn=l+丄neN
8、,23nn用数学归纳法证明：SQ1+—,n$2,nWN.22思路分析：本题在由n=k到n二k+l时的推证过程中，不等式左端增加了労项，而不是只增加了一丄这一项，否则证题思路必然受阻.2玄+111132证明：(1)当n二2时，S°2二1+—+—+—二1+—>1+—,r234122二命题成立.(II)假设当n=k(k>2,keN)吋命题成立，即2则
