高中数学第二章圆锥曲线与方程223椭圆的简单几何性质二课堂导学案新人教B版选修2

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1、2.2.3椭的简单几何性质(二)课堂导学三点剖析一、椭圆的第二定义【例"圆詁計上有-点P,它到左准线的距离等于2・5,求P到右焦点的距离.解法一:如右图，设P到左、2右准线的距离分别为d】,d・2,贝Ijdi+d2-加=50-12.5.c4又di=2.5,Ad2=10.又詈44•••IPF2I二一•d2=-X10=8.IPFIc4解法二：由一=-=—及d尸2.5,d}a54得

2、PFil=—•缶二2.又

3、PFi

4、+

5、PF2

6、=2a=10,

7、PF2

8、=10-

9、PFi

10、=8.温馨提示根据椭圆的第二定义

11、，往往把椭圆上的点到焦点的距离转化到该点到相应准线的距离.二、焦半径X2y2【例2】对于椭圆—4-^=1.(a>b>0)它的左、右焦点分别是冉(-C,0)和F2(c,疋b20),P(xo,yo)是椭圆上的任一点，求证：

12、PFj二a+exo,IPF2I二a-exo,其中e是椭圆的离心率.22证明:椭畤+計(a>b>0)的两焦点:Fi(-c,0)、F2(c,0),相应的准线方程分别是:99CT工门CTx=和x=——.CC・・•椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率.化简

13、得:

14、PFi

15、=a+exo,

16、PF21=a~exo.温馨提示

17、PFihIPF2I都是椭圆上的点到焦点的距离,习惯称作焦点半径.

18、PFi

19、=a+exo,

20、PFj=a-ex0称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远(近)点为长轴端点.三、利用椭圆第二定义求最值【例3】已知定点A(-2,点F为.+計的右焦点，点M的椭圆上移动时,求

21、AM

22、+21MFI的最小值,并求此时点M的坐标.解:如右图，由椭圆方程,得a=4,b=2V3,c=2,・・・e二一，右焦点F(2,0),右准线1：x=8.2IMF

23、I1设点M到右准线1的距离为d,则——二e二一，即

24、2MF

25、=d.d2・・・

26、AM

27、+2

28、MF

29、=

30、AM

31、+d.由于A在椭圆内，过A作AK丄1,K为垂足，易证

32、AK

33、即为

34、AM

35、+d的最小值，其值为8-(-2)=10.此时M点纵坐标为馆，得横坐标为273.・•・

36、AM

37、+2

38、MF

39、的最小值为10,这时点M的坐标为(273,).温馨提不(1)转化是一种重要的数学思想，本题利用第二定义，将看似没有“出路”的问题巧妙地化解了.(2)本题实际上要求对椭圆的第二定义有深刻的理解，在后面的双曲线、抛物线屮也

40、有类似问题，注意总结规律.各个击破类题演练1在椭圆£+专习上求-点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.解析：设P点的坐标为(x,y),F：、禺分别为椭圆的左、右焦点.25・・•椭圆的准线方程为x=±—,4・P^_PF,I**25~25*FXX44IPFil=21PF21,・2PF}_PF2…25-25FXX44・_25…X•1222把X二仝代入方程—+^-=1,12259得尸土姮.4因此,p点坐标为（兰，土空2）.124变式提升1?53点M（x,y）与定点（3,0）的距离

41、和它到直线1：x二仝的距离的比是常数？35,求点M的轨迹.25解：设d是点M到直线1：x二仝的距离.3由题意：点M的轨迹就是集合d5由此得J(x_3)2+y2I25'T-x

42、化简得16x2+25y2=400.所以点M的轨迹是长轴长、短轴长分别为10、8的椭圆.类题演练2设椭圆的左焦点为F,AB为椭圆中过F的弦，试判断以AB为直径的圆与左准线的位置关系.解：如下图，设M为弦AB的中点（即圆心），A'、B'、分别是A、B、M在准线1上的射影,由椭圆第二定义,得

43、AB

44、=

45、AF

46、+

47、BF

48、=e（

49、AA

50、Z

51、+

52、BBZ

53、）.V0

54、AB

55、V

56、AA，

57、+

58、BBT=2

59、MMT，...乜些<血i，2•••以AB为直径的圆与左准线相离.变式提升299椭圆令上一点P到两焦点的距离之积为m,则当5取得最大值时，点P的坐标是A.(5,0)和(-5,0)（丄，迈）和（丄，一班）22C.(0,3)和(0,-3)-)和2答案：C类题演练JTv2设P（xo,yo）是椭圆=+=二1（a>b>0）上任意一点，Fi为其左焦点.ertr（1）求

60、PFj的最小值和最大值;（2）在椭圆乞+工二1上求一点P,使这点与

61、椭圆两焦点的连线互相垂直.255解：（1）对应于R的准线方程为x二二乞，根据椭圆的第二定义:Ca兀。+・:.

62、PFi

63、=a+exo.又-aWxoWa.・••当xo=-a时，

64、PEi

65、min=a+—(-a)=a-c；a当x0=a时，iPFjmax二a+£•a=a+c.a(2)Va2=25,b2=5,/.c2=20,e2=—.5v

66、PFi

67、2+

68、PF2

69、2=

70、FiF2

71、2,(a+exo)2+(a-exo)2=4c2.4将数据代入得25+—X冷40・5・・・x°=土凶3.代入椭圆方程得p点的坐标为（墮