高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质一课堂导学案新人教b版选修2

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1、2.2.2椭圆的简单几何性质（一）课堂导学三点剖析一、椭圆的几何性质【例1】已知椭圆x2+（m+3）y2=m（m＞0）的离心率e=，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解析：椭圆的方程可化为：=1∵m-＞0，∴m＞即a2=m，b2=，c=由e=得=，∴m=1.∴椭圆的标准方程为x2+=1.∴a=1，b=，c=.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1（-，0），F2（，0）四个顶点分别为A1（-1，0），A2（1，0），B1（0，），B2（0，）.二、求椭圆的离心率【例2】2006山

2、东潍坊一模，8在Rt△ABC中，AB=AC=1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为（）A.B.-1C.D.解析:设另一个焦点为C′，则有AC+AC′=2a，BC+BC′=2a，又∵BC=，BC′=1-AC′，∴，解得AC′=，a=，c===，∴离心率e==，故选A.答案：A温馨提示本题考查椭圆的定义、离心率公式及相关运算能力.三、离心率的应用【例3】已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,求

3、椭圆的方程.解:∵椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝,∴点A不是长轴的端点（是短轴的端点）.∴｜OF｜＝c，｜AF｜＝a＝３.∴＝.∴c＝2，b2＝32-22＝５.∴椭圆的方程是＝１或＝１.温馨提示△OFA是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b、c，斜边的长为a，∠OFA的余弦值是椭圆的离心率.各个击破类题演练1求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.解:把已知方程化成标准方程：+x2=1，这里a=5,b=1,所以c==2.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分

4、别是F1(0，-2)、F2(0，2)，椭圆的四个顶点是A1(0，-5)、A2(0，5)、B1(-1，0)和B2(1，0).变式提升1已知点P（3，6）在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据P点的坐标最多可写出椭圆上几个点的坐标（P点除外）？这几个点的坐标是什么？解:根据椭圆关于两坐标轴对称及P点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标，这几个点的坐标分别是（3，-6）、（-3，-6）、（-3，6）.类题演练2设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过点F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到准线l1的距

5、离，则椭圆的离心率是__________________.答案：变式提升2椭圆=1和=k（k＞0）具有（）A.相同的长轴长B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点答案：C类题演练3已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上，离心率e=，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程.解：∵e=，∴=1-e2=.∴可设所求椭圆方程为=1（t＞0），∴c2=9t-8t=t，c=，M（，4）.∵M在椭圆上，∴=t，∴t=.故所求椭圆的方程是=1.变式提升3若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），

6、F2（3，0），则其离心率为（）A.B.C.D.答案：C