资源描述：
《高斯函数有关的高考压轴题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、与高斯函数有关的高考压轴题董永春（成都戴氏高考中考肖家河总校数学组，四川成都，611000）1高斯函数问题的提出早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设用R,用[刘或表示不超过x的最大整数，并用〃｛”〃表示兀的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，也叫取整幣数。高斯函数[兀]的定义域是/?,值域为乙其图象是不连续的水平线段。在初中、尚屮数学竞赛屮经常岀现含有取整函数的问题。笔者在髙三复习时发现欧拉常数问题⑴在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。下面从一些考题去体会高斯函数。2高斯函数有关的准备我们只提
2、出本文需要的一些性质x=[x]+x-l<[x]k时总有兀=x匕；③当71>1时，xn>y/a-；④对某个正整数若兀如》檢，则兀=
3、奶]。其中的真命题有一①—③—④o（写出所有真命题的编号）分析：①显然成立，对于②，取。=
4、3,州=3,兀2=1,土=3,“=1,…为摆动数列，②错。对于③，市题意知—和益都是整数，故“+]=[——]>ran£+[一]r-ir-]r从而[1一暫no即—-xH>0=>—-xn>—-xw>0,即—-xw>02L%」兀此」Le」=>分析：此题涉及了高斯函数的性质x-<[x]5、程g(x)-2x=0的解集为N,则集合MoN中的所有元素Z和为(A)-l(B)0(C)l(D)2ii3i分析:[3兀+1]+——2x—0=>3x<[3x+1]—2a-——53x+1=>——x=—,；若2兀—=—3=>x=—；若2x—=—4=>x=—(舍)；242424知耐=卜扌,—計，数形结合知N={0,l,2}所以答案为C。点评：本题涉及了竞赛数学的解含有高斯函数的方程，一般的处理方法是利用性质x—l<[x]5x很关键例3(2008湖南10,2010南充二诊12)设[刘表示不超过兀的最大整数，(如⑵=2,闻“),对于给定的
6、neN定义c”二讪-1)・.・(—[兀]+1),XG[
7、,+oo),则当xg[-,3)时，"x(x一-[x]+1)2函数的值域是(A)[y,28](B)[y,56)(C)(4,y]u(y,28](D)(4,y]o[28,56)3、—,2时，[x]=1,2丿16Q=
8、为减函数,知Qel4,y；xg[2,3),[%]=2,8x7x-(x-l)为减函数，知点评：本题体现了高斯函数的分段特色，组合数的整数问题又是一个热点研究课题。己]=1拓展变式（2011泸州诊断16）设闵表示不超过兀的最大整数（如[2]=2,4）,对于给定的“wZ,定义c”二"5—1）…⑺—⑷+°*厲+°°））,给出下列命
9、题：nx（x-1）…（兀—[兀]+1）（1）[V7]=3；（2）[-log23]=-l；（3）C]-5=2；（4）当xg[-,3）时，函数Cf的值域是（4,—]u（—,28]・233其屮正确命题的序号为.（填上所有正确命题的序号）分析：此题实际就是上题的改编与拓展。例4（2012成都4屮三诊12）[X]表示不超过兀的最大整数，数列｛%｝、｛bn｝分别满足10"兀-ioTi()zxl，bn=■a“+l%+1k+1■'+1.01其中N,{$}的前/!项和，当X=^k=l时，则S1(X)=()£<10。S〃为数列(A)16(B)32(C)33(D)34分析：由勺=10丄-1010。丄.7_.
10、7_1；〃=2吋,103--10102-.7..7.=2；・.・这些式子是有意义的，卜0」42857142857."十,2辟,7丄4,2,...为周期数列。幣入易知bn=0,0,0,0,0丄0,0,0,0,0丄…,故S]"=16点评：an=[10nx]-10[10/,-,x]就是取兀的各分位小数,在数论⑵中应用很广。例5（2012乐山一诊16）•定义函数Xx）=[x[x],其屮[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1,[-1.3]=-2
