高二数学人教B必修5学案：221等差数列二含答案

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1、2.2.1等差数列(二)【明目标、知重点】1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质2能运用等差数列的性质解决有关问题.填要点•记疑点1.等差数列的图象等差数列的通项公式血=%+(〃一1)〃，当〃=0时，a”是关于”的常函数；当dHO时，a”是关于舁的一次函数；点S，给)分布在以Z为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.2.等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广:在等差数列仏｝中，已知创，d,%a〃伽知)，则d=^Y=N1'从而有伍二她.(2)项的运算性质:在等差数列｛a“｝中，若m+n=p+q(m,n,p,q£N+),则am+an=ap+aq.3.等差数列的性质⑴等差数

2、列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a,+a„=a2+=Q3+a〃-2=….(2)若｛an｝.｛bn｝分别是公差为乩df的等差数列，则有数列结论{c+an}公差为d的等差数列(c为任一常数){cv“}公差为cd的等差数列(c为任一常数){a„+atl+k}公差为2d的等差数列伙为常数，/:GN+){pan+qbn}公差为pd+qcT的等差数列(p,q为常数)(3)｛a“｝的公差为〃,则QO0｛a”｝为递增数列;d

3、式atl=a--(n—)d可求出任意一项的值，如果已知如和公差〃的值，有没有一个公式也能求任意一项的值吗？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？本节我们继续探讨.探究点一等差数列与一次函数的关系思考1等差数列他｝的通项公式alt=a｝+(n-)d是°”关于"的一次函数吗？答当公差〃=0时，等差数列变成了常数列，给不是关于〃的一次函数；当公差〃H0时，等差数列仏｝的通项公式变形为a„=dn+｛a-d),°”是关于”的一次函数.思考2等差数列｛如｝的通项公式给=创+5—1)〃(〃HO)对应的图象是什么？答当公差时，等差数列｛為｝的通项公式g〃是关于〃的一次函数，其图象为一条直线上孤

4、立的一系列点，〃为直线的斜率，纵截距为a-d.例1已知数列佃｝的通项公式an=an+h,其中a、h为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解取数列｛禺｝中任意两项G”和给―i(Ql),求差得an—a„-=(an+b)—[a(n—l)+b]=an+b—(an—a+b)=d.它是一个与〃无关的常数，所以｛為｝是等差数列.由于an=an+h=b+a+(n—1)q,所以首项a=a+b,公差d=o.反思与感悟(1)如果数列｛d“｝是等差数列，则afl=an+b(afb是常数)；反之，如果数列｛给｝的通项公式是af,=an+b(afb是常数)，则数列｛如｝是等差数列.(2)判

5、断数列｛给｝是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，即為一外一1(〃＞1)是不是一个与〃无关的常数；也可以利用等差中项，即若如/丫旧成立，则说明⑺”｝是等差数列；也可以用通项公式afl=an+b(其中a、方为常数的数列)是等差数列.跟踪训练1已知a,b,c成等差数列，证明a2(b+c),bc+a),c2(a+b)也能构成等差数列.证明・・l,b,c成等差数列,:.a+c=2b.a"(b+c)+c'(a+b)=a2b+a2c+c2a+c2b=(cTb+c2b)+(a2c+c2a)=b(ci2+c2)+ac(a+c)=h(a2+c2)+lake=b(a2+c2+lac)=b(a+c)2=b(a+

6、c)(a+c)=2b2(a+c)..•./(b+c),b2(c+a)tc2(a+b)能构成等差数列.探究点二等差数列通项公式的推广思考1已知等差数列｛□“｝的首项a和公差d能表示出通项aH=a+(n—)d,如果已知第m项am和公差d,又如何表示通项an?答由等差数列的通项公式可知a„=a+(〃一l)d,am=a+(m—1)〃’两式相减,得an~a,n=(n—m)d,所以=a,„+(n—m)d.思考2对于任意的正整数〃八n.p、q,若m+n=p+q))W^.等差数列｛q“｝中，am+an与如+勺Z间有怎样的关系？为什么？答am+an=ap+a(｛.因为g,”+q”=G]+(〃?—1)〃

7、+。]+(”—1)M=2gi+(〃+加—2)〃，而ap+a(i=G]+(p—l)〃+ai+(q—l)〃=2Q[+(p+g—2)〃，又因m+n=p+q>所以a,„+an=ap+a(f.小结(1)等差数列的第二通项公式：an=am+(n—m)d;(2)对于任意的正整数m、n、p、q,若m+n=p+qt则在等差数列｛a”｝中,am+an与ap+aq之间的关系为am+an=ap+aq.例2梯子共有5级，从