中考数学教学指导：用方程思想求阴影面积

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1、用方程思想求阴影面积求阴影图形的面积，一般方法是通过割补重组、等积变换等手段，把不规则图形转化为可求解的规则图形的组合.而解一些图形构造较为复杂的问题时，用一般的方法会比较麻烦.如果另辟蹊径，通过设元，建立方程组求解，将会简便得多.下面举例说明.例1如图1,已知边长为a的正方形ABCD内接于OO,分别以正方形的各边为直径向正方形外作半圆，求四个半圆与的四条弧围成的四个新月形的面积.分析本题用一般的方法解时，可先求出每一个新月形的面积，每个新月形的面积等于以正方形的各边为直径的半圆面枳减去以正方形各边为底的小弓形的面积，而小弓形的面积又等于以0为圆心，04为半径的扇形的

2、面积减去AAOB的面积，这样，运算较大.如果用设元，建立方程组来解，较为简便.解设每个新月形的面积为x,QO的弧与正方形的边围成的小弓形的面积为y,则・••=S半圆a”出’①’①X4-2,得=4S半圆血+S正-S‘4y+Sj^=Sc)0.②1ar1cr即S阴=4x—龙x(-)2—龙・(_AC)2=/222注本题如果从四个半圆(即两个圆)及Q0.正方形整体考虑求解也很方便.读者不妨一试.例2己知:如图2,在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=5,CD=CE=3,求AABF的面积.CDB图2积也相等，设其面积为y.由题意，得<解连结CF,易知ACEF和ACDF的面积

3、相等，设其面积为x;ABDF和AAEF的面尸2x+y=*x3x5,x:y=3:2.75可得2兀+2尸二，•••SaF=*X5X5-*3x5-y号舟耳例3如图3,在边长为2的正方形ABCD中，以2为半径，分别以点A、B、C、D为圆心作弧.求阴影部分的面积.分析阴影部分是四个扇形.的公共部分，直接求解较困难，因此考虑用重组、整体思想方法去解决，将图形分为三类，根据它们之间的关系列式求解.解连结£B、EC,设形如图形的面积为兀，形如DEG图形的面积为y.••・MBC为等边三角形，••・S“.〃c=¥x22=JL又X=S正方形仙CD■2S扇形驱S竺BC-43能'2x+y二s正

4、方形加仞-S扇形磁=4-龙，则由厂=4-#-巧，得x+y=巧-彳.I2x+y=4-7T例4如图4所示，正方形边长为以各边为直径在正方形内画半圆•求所围成图形（阴影部分）的面积.解设每片叶形面积为兀，每个空白部分的面积为y,由面积关系列出方程组:小1—c2x+y=-7T（-）①I4兀+4y=a，.②①X4-②，得4*押*•:s阴影—71a2