中考数学教学指导：“特例函数法”巧解函数图像选择题

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1、“特例函数法”巧解函数图像选择题本文介绍一种“特例函数法”，对于解决函数图像分析类选择题效果显箸.例1二次函数y=a^+bx+c的部分图像如图1,图像与兀轴的交点坐标为(一1,0),对称轴为直线x=2.下列结论：①4a+b=0,②9a+e>3b,③Sa+lb+2c>0,④当x大于—1的时候y随兀值的增大而增大，其中正确的结论有().(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个/'11111yo：2x111图1分析在四个结论中，④显然是错误的，判断4a+b=0虽然需要由4g+〃联想到二次函数的对称轴，但并不困难.然而判断8°+7b+2c>0、9°+c>3b时，因为不

2、知道其本质是什么，且无法找到它们与函数图像或者其他选项Z间的联系，而如果通过特例函数法，写出一个与所给函数图像，已知条件相符的具体二次函数后，常数a、b.c的值就从未知变为已知了，再去判断4a+b=0>8a+7b+2c>0、9a+c>3b等结论是否成立的问题就转变成了简单的计算问题.如图1,由于对称轴为直线x=2,与兀轴的一个交点为(一1,0),所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5,0).注意到二次函数图像开口向下，不妨设。二一1,则二次函数函数关系式可以表示为y=—(x+1)(%—5)=—x2+4x+5,此时a=—1,b=4,c=5.则4a+b=0,所以①

3、成立；9«+c=-9+5=-4,3/?=12,所以②不成立；8。+7b+2c=-8+28+10=30.所以③成立.综上，①、③成立，选B.反思此题特例函数的选择方法很多.确定特例函数吋必须准确把握已知条件，熟练应用函数的性质.例如，本题特例函数构造中，充分应用了二次函数的轴对称性，确定抛物线与X轴的另一个交点(5,0)是问题解答的关键.此题除了通过交点式设出二次函数关系式之外，也可以设抛物线的顶点为(2,4),通过顶点式设二次函数的关系式为尸g(兀一2)2+4,再结合交点坐标(-1,0)计算a的值.例2如图2所示，二次函数尸C+bx+c的图像经过点(-1,2)

4、,且与x轴交点的横坐标分别为兀I、兀2，其中一24ac中正确的有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析四个结论中，②2a~b<0,③X—1结合函数图像和性质比较容易判断；④h2+Sa>4ac的判断具有一定的难度.因为抛物线与兀轴交点的横坐标分别为山、兀2,其中一2S0—1,2<1,不妨设兀尸-1.5,X!=0.5,设满足条件的二次函数关系式为y=a（x+l.5）（兀一0.5）.因为抛物线经过点（一1,2）,所以把点（一1,2）代入二次函数关系式，解得8

5、8a=——,b=——,c=2,3310・；4a~2b+c=—一<0,3所以①正确，964lr+Sa—4ac=—>0,9所以b2+Sa>4cicf④成立.反思当所需判断正确与否的结论直观、易于联想，容易与图形特征和函数相关性质联系起来时则无需使用特例函数法.可以发现，特例函数法虽然回避了题目的一些考察意图，但是却另辟蹊径，突出了待定系数法求函数关系式的相关知识要求.例3已知函数y=（x—/w）（x~n）（其小mS）的图像如图3,则一次函数y=nix+n与(C)(D)分析函数y=(^―m)(x~n)的图像与兀轴的两个交点的坐标为(m,0)^(n,0),由图3可以近

6、似读出心1,但却无法读出加的值.根据图像中的大致位置，不妨令m=-.5,则一次函数为y=-l.5x+l,反比例函数为y.作出函数y二一1・5兀+1和y=-—XX的图像，或者判断确定函数图像y=-1.5兀+1和y二一空的大致位置，知可能的函数图像是选项C.反思此类题目常规解答方法是：根据图3判断杯,7的正负，确定加+n的正负，继m+n而根据函数y=加兀+〃与『=中常数m>n.m+n的儿何意义，结合各选项的图像分析x无矛盾即可.这种方法对学生读图能力要求很高，相比而言，特例函数法更加简单直接，易于理解把握，解题分析的思维难度也有所降低.例4平面直角坐标系中，过点

7、(一2,3)的直线加经过一、二、三象限，若点(0,。),(-1,b),(c,-1)都在直线加上，则下列判断正确的是()(A)a

8、特例函数计量较小，易于判断.特例函数的