巧解初中函数图像变化题

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1、巧解初中函数图象位置变化题在初中函数学习中，我们往往被图象的位置千变万化的移动弄得眼花缭乱，不知所云。有题如下：(1)将y二兰的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平移1个单位，所得到的函数解析式为;(2)y=x2+4x-3的图象关于y轴对称的函数图象解析式为；(3)把函数y=2x2-5^+-的图象沿x轴方向向右平移2个单位，再沿y轴方向向上平6移4个单位后，所得到的函数解析式为o诸如此类的问题不胜枚举，而且解决起来也很是麻烦。在日常教学中，我引导同学们从点入手。我们知道：点是构成函数图象的基本单位，平面直角坐标系中的任意一点A都可以用一对有序实数

2、对(兀，y)来表示其具体位置。那么我们有这样的结论：一、关于点的对称，我们有：A(x,y)关于兀轴对称的点Ai的坐标为(x,-y),关于y轴对称的点A2的坐标为(-兀，y),关于坐标原点对称的点A3的坐标为(-兀，-y)o类似的，我们有以下结论：若A%y)在函数y=/(x)±,则1(x,-y)在函数y=f(x)关于兀轴对称的图象上,即-y=f(x),(或y=-f(x))；2、(一兀,y)在函数y=f(x)关于y轴对称的图象上，即y=3、(-兀，-丿)在函数y=/(x)关于坐标原点轴对称的图象上，即-y=/(-x)(或举例说明：求丁=扌+4兀_3的图象关于y轴对

3、称的函数图象解析式。通常我们在函数屮取三个点，再根据对称关系写出三个对称点的坐标，然后代入y=ajc^bx-^c^求出a,b,c的值，或者先配方成顶点式，再取顶点和另外一点，根据对称关系写出两点坐标求出。不过我们发现这两种方法都会有很麻烦的计算。现在我们对比一下：解法一：在y=F+4x_3中取三点：(0,-3),(1,2),(・1,・6),然后根据对称关系写出y=^2+4x-3关于y轴对称的函数图象解析式中的三点(0,・3),(-1,2),(1,-6),代入cc=-3y=ajr+/7X4-C中，联歹！J得三元一次方程组vo-b+c=2解得：o=l,b=-4,c

4、=-3oa+b+c=-6所以，y=/+4兀_3关于y轴对称的函数图彖解析式为y=x2-4兀-3解法二：由上面结论可得：y=x2+4x-3关于歹轴对称的函数图象解析式为：y=(—+4(—x)—3=—4x—3。二、关于点的平移，我们有：点有三种基本的平移：①•点沿/轴平移；②•点沿y轴平移；③•点沿兀y轴平移。这样，我们就可以把点平移到平面直角坐标系中的任意位置了。同样的，我们也可以把图象的平移与点的平移结合起来看，有如下的结论：1、函数y=/(x)沿/轴方向平移间个单位后，所得到的函数解析式为y=/(x+e),(向左平移，e>0；向右平移，e<0)；2、函数j=

5、/(x)沿y轴方向平移

6、/

7、个单位后，所得到的函数解析式为y=f(x)-^f,(向上平移，/>0；向下平移，/<0)；3、函数j=/(%)沿/轴方向平移同个单位后，再y=/(x)沿y轴方向平移也个单位，所得到的函数解析式为y=/(x+£)+/,(向左平移，c>0；向右平移，c<0o向上平移，f>0；向下平移，/<0)o举例说明：求二次函数y=x2^3x-沿x轴方向向左平移2个单位后所得的函数解析式。通常我们先把歹二疋+彳兀_］配方成顶点式：>=(兀+丄)2_口，然后根据顶点式下的平移24规则，得到：〉,=(兀+舟+2)2一芋=F+7x+9。在这里，配方是我们

8、很多同学容易做错的地J•方。那么运用我们的结论，可以这样做:y=x2+3兀-1沿x轴方向向左平移2个单位后所得的函数解析式为:y=0+2）2+3（兀+2）_1,化为一般形式后为：y=F+7兀+9。当然，我们一直把目光投在二次函数上，对于一次函数和反比例函数也是如此，有兴趣的同学不妨一试。运用上面的两个结论，我们可以解决上面的（1）、（3）两个问题了。2问题（1）中，我们把y=-的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平x2移1个单位，所得到的函数解析式为有—-1；x+2问题（3）中函数y=2x2-5%+-的图象沿x轴方向向右平移2个单位，再沿y轴方向

9、向6上平移4个单位后，所得到的函数解析式为y=2（x-2）2_5（兀-2）+：+4,即6137y=2x2-13x+^—o6请同学们解决下面的问题，不妨与以前的解法比较一下：1、把二次函数y=-2x2+lx-l先沿y轴方向向下平移1个单位，再沿x轴向右平移4个单位后，其关于坐标原点对称的函数解析式是o2、函数y=-3x-5的图象沿x轴平移个单位后，可以得到y=-3xo3、函数y=--沿x轴方向向左平移4个单位，再沿y轴方向向上平移1个单位后所得X的图象解析式为，新图象关于X轴对称的图象解析式为。