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《中考数学复习指导：与角平分线有关的基本题型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、与角平分线有关的基本题型在认识平血几何(二)中，角平分线在三角形的三条重要线段中尤其重要.它就像几何中的“变形金刚”，会时不时呈现一种它的新的形态.但俗话说的好，万变不离其宗，笔者带你了解一下它的基本形态，相信你就能了解它的各种变化了.我们来认识一下它的四种基本题型,记住结论，你可以迅速解决一类填空选择题;掌握方法，你可以对付它的任何变形.一、两条内角平分线的夹角与顶角的关系例1如图1,在ABC+,BE平分ZABC,CE平分ZACB.若ZA=80。，则ZBEC=;若ZA=n°,求ZBEC用含的代数式表示)分析已知顶角，则根据三角形内角和为180。可以求出两底角的和，再由
2、角平分线的性质得到ZEBC与上EBC的和为两底角和的一半，结合三角形内角和等于180°,求出ZBEC.在44BC屮，QZA=/?°z・・・ZABC+ZBCA=180。一ZA=180°一n°.QBE平分ZABC,CE平分ZACB,・・・ZEBC+ZECB=-(ZABC+ZBCA)=90°--n°,22•・・在EBC中，ZBEC=180°-(ZEBC+ZECB)=90°-丄沪.结论两条内角平分线的夹角等于90度加上顶角的一半(即ZBEC=90°+-ZA).变形如图2,AMON=84°,点A,B分别在射线OM,ON上移动，AAOB的角平分线AC与BD交于点P.试问:随着点A,
3、B位置的变化，ZAPB的大小是否会变化?若保持不变，请求出ZAPB的度数.若发生变化，请说明理由.0DAM图2解ZAPB的大小不变，始终为132°•Q在AO4B小，AMON=84°,・•・ZOAB+ZOBA=180°-ZMON=96°,・・・AOB的角平分线AC与BD交于点P,・・・ZPAB+ZPBA=-(ZOAB+ZOBA)=48°,・・・在APAB中，・•・ZAPB=180°-(ZPAB+ZPBA)=132°.二、两条外角平分线的夹角与顶角的关系例2如图3,在ABC屮，30平分外角ZCBD.CO平分外角Z3CE•若乙4=沪,求ZBOC.分析因为涉及到三角形的两个外
4、角，所以用三角形的外角和为360°来表示ZDBC+ZECB简单一些.解QZA=h°,.与ZA相邻的外角为180°-/1°.11据三角形的外角和为360°,・・・ZDBC+ZECB=360°一(180。一斤。)=180。+n°.又QBO平分外角ZCBD,CO平分外角ZBCE,・•・ZOBC+ZOCB=丄(ZDBC+ZECB)=90°+丄沪，22・・・在4B0C屮，ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=90°--n°・结论两条外角平分线的夹角等于90度减去顶角的一半(即ZBOC=90°--ZA).为了便于同学们区分这两个结论，笔者用"内优外患”来记，内优:内角平分线是
5、90度加上顶角的一半;外患:外角平分线是90度减去顶角的一半.“优”就是“加”，“患”就是“减”.变形如图4,垂直相交的两直线04与OB相交于点0,连接并延长B4至E,在ZABO的内部作射线BF交AO于点C.若ZE4C,ZFCA,ZABC的平分线交于点G,过点G作BE的垂线，垂足为H，试问ZAGH,ZBGC的大小关系如何?请写出你的结论并证明.分析AG和CG是ABC的两条外角平分线，则ZAGC=90°--ZABC.2由GH丄BE,得ZHGB=90°一ZHBG=90°--ZABC=ZAGC.2所以乙HGB-ZBGA=ZAGC—ZBGA，即ZAGH=乙BGC.三、一条内角平
6、分线一条外角平分线的夹角与顶角的关系例3如图5,在ABC中，BE平分ZABC,CE平分外角ZACM.若ZA二沪，求ZBEC.分析由三角形的外角性质，可知ZACM=ZABCZBAC,ZECM=ZEBC+ZBEC;再由角平分线的性质得到ZBEC和ZA的关系.解QZACM=ZABC+ZBAC,ZECM=ZEBC+ZBEC,又QBE平分ZABCfCE平分外角ZACMf/.ZEBC=-ZABC,ZECM=-ZACMf22•・•ZBEC二丄乙4=丄/?。.22结论三角形的一条内角平分线和一条外角平分线的夹角等于顶角的一半（即ZBEC=-ZA）.2变形如图6zABC中，ZABC的角
7、平分线与乙4CB的外角乙4CD的平分线交于A-⑴①探索ZA与ZA之间数量关系并证明你的结论；②若0BC的角平分线与AA.CD的角平分线交于A,,ZA.BC与A2CD的平分线交于人，如此继续下去可得人,…,观请你直接写出Z&与ZA的数量关系.图6图7⑵如图7,若E为B4延长线上一动点,连EC,ZAEC与ZACE的角平分线交于Q,随着点E的运动，ZQ+Z/1,的值是否变化?若变化，请说明理由;若不变，请求出其值.解(d®za=
8、za・QZACD-ZABD=ZBAC,BAVCA,是ZABC的角平分线与ZACB的外角ZACD的平分线，
