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1、浅谈导数的几例应用湖北房县二中李定东导数、变化率是数学历史上一个重要的转折，在高中数学中增加这部分内容可以加强对考生由有限到无限的辩证思想的教冇，使考生能以导数为工具研究函数的变化率，为解决函数的极值、单调区间及函数的图象等问题提供更有效的途经，更简便明了的手段。从近儿年的高考命题分析，高考对导数的考查可分为三个层次：第一层次是主耍考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应川问题，将导数内容和传统内容屮有关不等式和函数的单调性、方
2、程根的分布、解析几何屮的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。一、用导数解决斜率问题函数/（兀）在％处的导数/（X）是曲线y=f（x）在点（x0,/（x0））处的切线的斜率,高考常结合函数图象的切线及而积、不等式等问题对导数儿何意义的应用进行考查。例1：已^/（x）=x3-3x2+2x,xg/?,若直线/过原点且与曲线y=/（x）相切,求直线/的斜率k。解：Vf（x）=x3-3%2+2xy'=3x2-6x+2・・•直线和Illi线均过原点当原点是切点时，切线的斜率k=yx=.=2当原点不是切点时,设切点为p（兀（）,y（）），其中x0工0:.
3、y0=3x03-6x02+2兀°又•・•切点p(x0,y0)在曲线上，.・.yQ=Xq-3x02+2x0综上所述，k=2i&k=--o4二.利用导数求函数解析式根据函数在某处冇极值，则函数在该处导数为零，同时在该处函数值为极值，从而得到方程纽，解方程组可得相应参数值，但需对所求值检验，即代入函数看是否在所给点处有极值。例2：已知关于x的函数/(x)=--x3+bx2+ex+be,如果函数/'(x)在x=1处有极值4-—,求函数/(兀)的解析式。解：*.*/(x)=——x3+bx2+ex+be,/./(x)=-x2+2/?x+c,4由/(x)在x=l
4、处有极值—一可得：f⑴=-l+2/?+c=014/(1)=卡+尿+处=—-解得b=c--l或｛启一1c=3若b=1,c=—1则f(x)=-x2-2x-1=(x-1)2<0,JW/(x)没有极值,若b=—1,c=3,贝U/(x)=—尢-—2x+3=—(兀+3)(兀—1)当x变化时.fW.f(x)的变化情况如下表:X(-00,-3)・3(-3,1)1(1,+°°)/(X)—0+0——极小值-12/4极大值V3・••当兀=1时,f(x)有极大值-兰,故b=-l,c=33f(x)=—兀彳一兀2+3x—3o二.利用导数判断函数的单调区间设函数y=f(x)在
5、某个区间内可导，当fx)>0时，f(x)在此区间上为单调增函数，而当fx)<0lit,f(x)在此区间上为单调减函数，高考常以两数单调区间，单调性证明等问题为载体，考杏导数的单调性和分类讨论思想的应用。Iiij例3：已知函^/(%)=-wx2-(2+—)x2+4x+l,当m>0时,求函数f(x)的单调区32间。I解：*.*f(x)=—(2h—)x~+4x+132/.f(x)=mx2一(4+m)x+4=(mx-4)(兀-1).4当m>0时，f(x)=m(x)(x一1)m①.>1B卩0时，由fx)>0得x>-或<1,min・••当05<4吋，f(
6、x)的单调递增区间为：(一8,1］和［土，+8)m①.当m二4时，f(兀)=4(兀一1)2・・・m=4时，f(x)的单调递增区间为(-8,+oo)414②.当0<—VI即m>4吋，ill/(X)>0得x>l或x<—mm・・・m>4时，f(x)的单调递增区间为：(―,土］和［1,+8)。m二.利用导数求函数极值与最值(包括函数值域类型问题)导数是研究函数极值的有力工具，对■于可导函数f(x),当在f'M=0的根勺的两侧f(x)的值异号时，f(x)在该点处有极值，若求f(x)在［a,b］上的最值，则求出f(x)在(a,b)上极值并与f(a),f(b)比
7、较，得出最大值和最小值。例4：设函数/(x)=ax2+bx,其中ah^O.证明:当ab>0时，函数于(兀)没有极值点;当ab<0时,函数/(x)W且只有一个极值点，并求出极值.证明:因为/(x)=ox2+/?lnx,dbHO,所以/(x)的定义域为(0,+co).广⑴+J込±当ab>0时，如果6/>0,b〉0,广(兀)>0,/(力在(0,+a)上单调递增;如果a<0,b<09ff(x)<0,f(x)在(0,+oo)上单调递减.所以当ab>0,函数/(x)没冇极值点.令广⑴"将X]=-J一-3(0,+00)(舍去)，兀2=]一-(0,4-00),
8、V2aV2a当a>0,bvO时,fxf(x)随兀的变化情况如下表:V2a广⑴—0+/（X）极小值/从上表nmm,函数/
