《新步步高》高考数学大二轮总复习与增分策略（全国通用，理科）第四篇第2讲函数与导数

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1、2.函数与导数要点1.求函数的定义域，关键是依据含自变量X的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式屮的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同.［问题1］函数,/W=TZ7+lg(l+x)的定义域是•1X2.用换元法求解析式吋，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题.［问题2］已知/(cosx)=sin2x,则/(x)=.3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函

2、数，它是一个函数，而不是几个函数.那么人舟)的值为3x,xWO,［问题3］己知函数•斫丄1)，兀＞0,4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”).［问题4］用)=豊若是5.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“U”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.［问题5］函数./(x)=Z的减区间为6.弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有

3、单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.(2)若./(X)为偶函数，则A-x)=Ax)=/(M)•⑶若奇函数/(x)的定义域中含有0,则必有./(0)=0.“/(0)=0”是“/⑴为奇函数”的既不充分也不必要条件.［问题6］设.心)=览6±+»是奇函数，且在x=0处有意义，则该函数为()A.(—8,+8)上的减函数B.(—8,+8)上的增函数C.(一1,1)上的减函数D.(—1,1)上的增函数7•求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的

4、函数.(2)图彖法：适合于己知或易作出图象的函数.(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数.(4)导数法：适合于可导函数.(5)换元法(特别注意新元的范围).(6)分离常数法：适合于一次分式.2X［问题7］函数y=#y(xMO)的值域为・8.函数图象的儿种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”.(1)翻折变换：/⑴一I/WI；.心)一/(闪)・(2)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称小心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y=f

5、(x)与的图象关于原点成中心对称；③函数y=j{x)与尹=/(—x)的图象关于直线x=0(y轴)对称；函数y=J{x)与函数y=—f{x)的图象关于直线y=O(x轴)对称.［问题8］2x+函数/^)=仝匸的图象的对称中心是__1_9.有关函数周期的几种情况必须熟记：()fix)=f(x+a)(a>O)f则.心)的周期T=a；(2)f(x+a)(/(x)HO)或^x+a)=-f{x),则./(x)的周期T=2a.［问题9］对于函数.心)定义域内任意的兀，都有./(x+2)=—计亍若当2W3时，/(x)=x,则7

6、(2016.5)=10.二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.［问题10］若关于x的方程姒2—x+l=0至少有一个正根，则a的取值范围为•10.(1)对数运算性质已知Q0且dHl,b>0且bHl,M>0,N>0.则=ogaM+logaN,Mlo師=lo助M—logaN,对数换底公式:呃N=器.推论：lo鬲N"=^l

7、o创M吨0=盘.(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y=a的图象恒过定点(0,1),对数函数y=og(lx的图象恒过定点(1,0).［问题11］函数j=

8、log2

9、x-l

10、

11、的递增区间是.11.幕函数y=xa(a^R)⑴①若a=l，贝l»=x,图象是直线.②当«=0时，p=x°=l(xH0)图象是除点(0,1)外的直线.③当05<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点,在第一象限内是上凸的.④当a>l时，在第一象限

12、内，图象是下凸的.(2)增减性：①当a>0时，在区间(0,+<-)上，函数尹=寸是增函数；②当°<0时，在区间(0,+8)上，函数y=Xa是减函数.［问题12］函数^x)=x2一(*)'的零点个数为・12.函数与方程(1)对于函数y=f(x),使./(x)=0的实数x叫做函数尹=心)的零点.事实上，函数丿=心)的零点就是方程./(x)=0的实数根.(2)如果函数y=f(x