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1、利用空间向量求二面角的平面角教学目标1.让学生进一步理解二面介的平面和的定义，找出二面角的平面角与两个面的法向最的夹角的关系；并能利用空间向量解决求二面角大小的简单问题.2.通过木节课的学习，培养学生观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力和空间想象能力.3.培养学生主动获取知识的学习意识，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的情感体验.教学重点利用空间向量计算二而角的大小教学难点判断二血角大小与两个血的法向量的夹角的关系教学方式引导启发式体验式教学过程一、复习引入：1.二面角的概念：二面角的定义.从一条肓线出发的两个半平面所组成的图形叫做二
2、面角，这条肓线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面•若棱为/,两个面分别为的二面角记为a-1-p.2.二而角的平而角：（1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平而内作棱的两条垂线Q4,OB,则厶叫做二面角a-1-fi的平面角.说明：（1）二而角的平而角范围是［0180°］；（2）二面角的平面角为在和时，则称为直二面介，组成肓二面角的两个平面互相垂在引导：请学生归纳已学过的求二面角的大小的方法，教师作必要的补充与引导.明确本节课的课题.设石，石分别为平面羽0的法向量，二面角a-l-0的大小为&，向量石，石的夹角为卩，贝ij有&+0=龙
3、（图1）或0-（p（图2）n°4.（2009-上海髙考）如图，在直三棱柱4BC—4、BC中，AA}=BC=AB=2t4B_LBC,求二面角厲一/C—C］的大小.解：如图，建立空间直角坐标系・则力(2,0,0),C(0,2,0),4(2,0,2),设MC的中点为M,即而=设平面A}B{C的一个法向量是n=（x,y,z）.A]C=(-2,2,-2),A}B=(-2,0,0),.nQAlBj=-2兀=0,*•s.jiDA1C1=-2x+2j-2z=0,令z二1,解得x=0,y=1.・"二(0,1,1),设法向量«与BM的夹角为（p,二面角
4、耳・A.C・G的大小为〃，显然0为锐角・nWMVcos^=
5、cosy
6、=—InLBM・・・二面角B、・A、C・G的大小为彳.cos0=-coscosq—cos例题4.在长方体ABCD—A
7、B
8、C]D
9、中,AB=2,BC=4,AA】=2,点Q是BC的中点,求此时二而角A—AQ—Q的大小.解如图2,建立空间直角坐标系.n2•AyQ=2a{+2a2-2a3=0,n2•QD=-2af+2a2=0，依题意：Ai(0,0,2),D(0,a,0).・・・Q(2,2,0),D(0,4,0),面AAjD的法向量=(1,0,0).
10、・・・A}Q=(2,2-2),QD=(-2,20)・设面AiDQ的法向量n2=(al9a29a3)fn2=(al,al,2al)•令ai=l,则石=(1,1,2),1V61V66•・•二面角的平面角为锐角・：二面角A一AjD一Q的大小为arccos—基本结论构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角.二.求二面角的平面角:例］.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,侧棱PD丄底ffiABCD,PD=DC=2(1)求二面角C-PB-D的大小P(2)求二血角A-PB-D的大小•21.如图所示的多面体是由底面为
11、ABCD的长方体被截面AEC.F所截面而得到的，其中AB=4.BC=2g=3，BE=.(I)求的长；(II)求点C到平面AEC.F的距离.让学牛观察两平而的法向量的夹角与二而角的平而角之间的关系，引导学牛:用法向量的夹角解决。图6ZnAX图7B等cy（兀」』）或〃=（x』o，z），其中几>0四.当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时，通过判断法向量的方向来求解二面角.原理首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系：如上图6所示，当我们把法向量控制成“一进一出”，此时两法向量在三个坐标平面xoy.yoz.xoz的投影也可以看成是“一进一
12、出”，这时不难得出无石的夹角就是二面角的大小，反Z就不是。其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢?如图7所示：平面ABC的法向量方若要法向量〃的方向“向上”，可设〃=（兀』,1）或n=（x』,z°），其中z0>0；若要法向量〃的方向“向前”，可设n=（ly,z）或〃=（兀o』z）,其中x（）>0；若要法向量方的方向“向右”，可设方=所以，只要我们判断两个法向量的方向是<“i进一出”，那么所求的二面角的平面角就cos&=cos-cos于两法向量的夹角，如果是“同进同出”，那么
13、所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法向量求二而角就可以做到随心所欲。如图，ABCD是ii长为3的正方形,DE丄平面ABCD,AF//DE,DE=3AF,BE与平
