阅读材料：割圆术

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1、阅读与思考：割圆术圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出丁解决有关圆的计算问题。仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历史，人类对n的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。n的研究，在一定程度上反映这个地区或吋代的数学水平。直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是

2、饶有趣味的。我国的刘徽创立了割圆术，给出了“割圆”的一般法则，后世的割圆家可能在n的近似值上估计得比他精密，但若论及创始的功劳，则他的地位是无人可以替代的。刘徽是魏人，经丿力可能延长到晋朝，这是史家根据《隋书》记载的魏陈留王景元四年（263A.D.）刘徽注九章的文句推断出來的。晋朝算学博士王孝通（《缉古算经》的作者）称赞他“思极毫芒”，推许他的著作“一时独步”。他那极富原创性的《九章算术注》（附于现传木的《九章算术》内），及《重丼术》（即现传的《海岛算经》）二部著作，的确是他不朽声名的最佳脚注。刘徽的割圆术记载在九章算术第一卷方皿章的第32题关于圆面积计

3、算的注文里。我们把它归纳为下列儿点来加以说明。一、刘徽首先指出利用兀二3这一数值算得的结果不是圆面积，而是圆内接正十二边形的面积，这个结果比n的真值少。二、他由岡内接止六边形算起，逐渐把边数加倍，算出止12边形、止24边形、止48边形、正96边形……的面积，这些面积会逐渐地接近圆面积。三、已知正6边形一•边（恰与半径等长，详见《九章算术》），即求得正12边形边长，……。由正12边形求正24边形一边之长吋，刘徽反复地应用到句股定理（或称商高、勾股定理）,如下图：设鬪的半径为1,弦心距OG为忙;止n边形的ECF边长AB为暫，而积为根据齐个勾股定理,容易知道兀

4、6=1正n边形的面积等于正n边形的面积加上n个等腰三角形的面积，即S2”=S”+士(1-/0(53.105828...学生利用TI-voyage200图形计算器操作：(老师现场指导):kgysC；:Prgn:Locali,s,x,h:Input11n=11心i!14-x!6*T(3)/44gslJkii1&i^2>^xs2*HiMAINDEGAPFRUXFUNC运行程序为：：Ir»putun=ll7n：6->i•i*x：6*T<3>/4->s!Wh

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6、历志》有如下记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，月肉数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，止数在盈月肉二限Z间。密率：岡径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。其一是求得圆周率3.1415926VitV3.1415927