数学建模研究与应用

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1、三、微分方程数学模型例4有一段时间美国原子能委员会是这样处理浓缩放射性废物的，他们把废物装入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深91.44m的海里，他们保证圆桶很坚固，不会破漏.但实验证明，圆桶下降时质量为239.46kg,水的阻力系数为c=0.118,浮力为b=2090.07N,当圆桶下降速度达到12.19m/s时，碰撞到石头会发生破裂.美国原子能委员会的做法是否安全？这是为什么？请用数学方法作出解释.解1.模型建立设y表示在时刻t下降到的深度，则圆桶下落时的速度：v=^加速度：2型=型©=圧dtdydtdy则圆桶下落时所受合力/二“―b—cuno

2、由牛顿运动笫二定律二/得mv——=w-b-cv(*)(m为圆桶质量m=w/g)dy（反映y与v的关系）2•模型求解记P=g(l——~，则P,q为常数把以上模型分离变竝得:两边求不定积分得尸丄J血型立知丄憾_£qJp+qvqJqC]=[lnp,y=---^-ln(l+^)q"qqp己知数据代入并注意g=9.8m/52，得p=1.06,q=-0.0049・所以y=-204.9lv-44504.085ln(l-0.0046v)当v=12.19m/$时，由上式算出y=72.4m,又—>0,即y是u的递增函数，故可dy知当y=91.4m时，=16.33>12

3、.19加/$，即把圆桶扔到91.4m深处，会有被撞破的危险.后来美国原子能委员会已禁止将放射性废物抛入海屮.例6设河边点0的正对岸为点A,河宽0A=h,如图10-4,水流速度为°,有一鸭子从点A游向点O,设鸭子(在静水中)的游速为且鸭子游动的方向始终朝着点O.设h=10m,a='mls,b=2mls,建立鸭子游动轨迹的数学模型,解1•模型的假设为了使问题确定和简化，作了如下假设：假设河宽固定，设为h,且两岸为平行直线；鸭子游速为“及水流速度°均为常数；鸭子游动的方向始终指向0.2.模型的建立取0为坐标原点，河岸朝顺水方向为*轴，丁轴指向对岸，如图1

4、4-4所示.yi图14-4设时刻t鸭子位于点P（兀刃，设起点坐标（兀，）'）=（0，力，终点坐标（0,0）,rbophv=5+/?.于是鸭子游动的迹线满足:dxbx—-a-dtdy_-bydtJF+bx(O)=0,y(0)=h3•模型的求解竺=Zl故有：dy~vy由此得到微分方程竺=比=_也云*兰，旳）"dyvybyy求解此齐次微分方程得到鸭子游动的迹线方程为:兀=£［（壬严_（三严］,Q

5、子运动的力学分析结果是一致的.（2）如果鸭子上岸的地点不超过河对岸下游一定位置（比如与正对岸距离为/）,鸭子的速度大小和方向不变，问鸭子以怎样的游动方向才能以最少的时间到达上岸地点？鸭子能够按要求到达对岸速度应满足什么条件？如果水流速度变化，进一步可研究2003年全国数学建模竞赛D题：抢渡长江.