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1、二o——年数学小课题研究题目:钟表中的数学初探学校：安丘市吾山中学课题研究方案课题名称钟表中的数学初探班级11■课题组成员徐会杰、于兴胜加刘霞霞组长徐会杰指导李国臻教师韩军芳课题的背景和目的意义木课题是在学完弧长和扇形面积的计算，及我们已经知道钟表中时针与分针的夹角及度数等基础上，老师让我们通过对钟表中存在的数学知识进行深入探索，使我们能从中发现一些课本上没有的现象和规律，从而达到学数学、用数学的目的，并激发我们学习数学的更大的兴趣。研究内容和步骤内容：老师提出了两个问题：1、不知你是否观察过钟表上的吋针和分针，它们总是成一定角度。那么，你是否知道它们什么吋候重合？什么时候成一条直线？什么时候
2、成直角？其中有什么规律？2、如果你的表不准，你是否可以根据它来判断其他人的表准不准呢？步骤：第一个问题，小组成员讨论后分别计算，得出共识。第二个问题，小组成员共同解决。然后把两个问题得出的过程及方法汇报给指导老师，错误的地方有老师指导我们更正。成员分工徐会杰为组长，准备一个钟表，协调组内成员的研究过程，并发挥带头作用，于兴胜、刘霞霞为组员，共同研究小课题。预期成果论文学生论文结题时间2011年12月14日学校意见盖章签字：吋间：教管办意见盖章签字：吋间：探探探探探※【题口】钟表中的数学初探探【止文】探探探【执笔人】徐会杰探探探探探钟表中的数学初探一.提出问题老师：同学们，我们每天的日常生活都离
3、不开表，但是你们知道表中还隐藏着什么样的有趣的数学知识吗?问题一:不知你是否观察过钟表上的时针和分针，它们总是成一定角度。那么，你是否知道它们什么时候重合？什么时候成一条直线？什么时候成直角？其中有什么规律？问题二：表是用来反映时间的工具，但如果你的表不准，你是否可以根据它来判断其他人的表准不准呢？二、研究过程学生小组成员三人：于兴胜、徐会杰、刘霞霞问题一：三人合作探究的首要结论：这类问题实际上是分针追时针的追⑴•两针重合时的位置我们知道两表针在12:00时会重合（如图一），设下一次重合位置为图二,时针走过的路程用黄线表示，分针走过的路程用红线+棕红线表示，追及路程S为绿线所示，恰为一周。我们
4、知道两表针在12:00时会重合（如图一），设下一次重合位置为图二，时针走过的路程用黄线表示，分针走过的路程用红线+棕红线表示，追及路程S为绿线所示，恰为一周。解法一：解法一：（徐会杰）取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则S=60（格）％=右（格/分）兀厂罟=65春（分）1_12解法二：（于兴胜）取钟表上的一大格（即一小时）为单位路程，则S=12（格）％=12（格/时）V2=l（格/时）亦旦丄（时）山12-11111=1丄x60=65—（分）1111小组成员归纳:1、根据以上计算，每隔65亓分时针和分针重合一次。2、在一天中它们重合的次数^=24x60=次720TT3、它们的位置分别是：1
5、:5—,112:10,0,113:16—,114:21—,115:27—,116:32—,7:381127tt?8:43h>9:49—,1110:54—,1112:00,13:5—,1114:10—,11415:16—,11916:21—,11QQ7717:27—,18:32—,19:38—,20:43—,1111111121:49丄，22:54—,24:001111（2）・两针成一线时的位置（刘霞霞）两表针在6:00时会成与一线（如图三），设下一次成一线的位置为图四，时针走过的路程与分针走过的路程之和，恰好为一周，因此，此问题的解答与（1）完全类似。即每隔分时针和分针成一线，一天内表针将22
6、次成一线。（3）•两针垂直时的位置两表针在3:00时垂直（如图五），设下一次垂直的位置为图六，时针走过的路程用黄线表示，分针走过的路程用红线表示，追及路程S为绿线所示。由于蓝角与绿角互余，红角也与绿角互余，所以，红角二蓝角，故图中两黄线部分相等。因此，追及路程恰好为半周。方法一：（于兴胜）取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则S=30（格）V,=1（格/分）2吕（格/分）丄J2&二畔=32普（分）12方法二：（于兴胜、徐会杰）将时针看作是不动的，分针以相对时针的速度（二者的速度差）追及时针。两表针在3:00时垂直（如图五），下一次垂直的位置为图六，分针走过的路程用绿线表示，这也就是追及的路
7、程S,恰好为圆周的半圈。解：取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则S=30（格）％=1二（格/分）v2=0（格/分）3036012十）当两针再次重合时，又回到图五的情况，因此每隔32春分两针相互垂直24x60在一天中它们垂直的次数为帀厂=44（次）TT它们的位置分别是：QC23:00，3:32—，4:5—,4:38—，II11115:10—,5:43—,6:16—,6:49丄，11111111
