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时间:2019-10-20
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1、绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念,在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式,以及求解方程与不等式时,经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题. 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识. 一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值. 结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数.反之,相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个
2、常用的结论:任何一个实数的绝对值是非负数.例1a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件? (1)|a+b|=|a|+|b|; (2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|; (4)若|a|=b,则a=b; (5)若|a|<|b|,则a<b; (6)若a>b,则|a|>|b|.例2设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a|+|a+c|+|c-b|.例3已知x<-3,化简:例5若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值.参考答案:例1a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件
3、? (1)|a+b|=|a|+|b|; (2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|; (4)若|a|=b,则a=b; (5)若|a|<|b|,则a<b;(6)若a>b,则|a|>|b|.解(1)不对.当a,b同号或其中一个为0时成立.(2)对. (3)对. (4)不对.当a≥0时成立. (5)不对.当b>0时成立. (6)不对.当a+b>0时成立.例2设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a|+|a+c|+|c-b|. 解由图1-1可知,a>0,b<0,c<0,且有|c|>|a|>|b|>0.根据有
4、理数加减运算的符号法则,有b-a<0,a+c<0,c-b<0. 再根据绝对值的概念,得|b-a|=a-b,|a+c|=-(a+c),|c-b|=b-c. 于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c.例3已知x<-3,化简:分析这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号. 解原式=|3+|2+(1+x)||(因为1+x<0) =|3+|3+x|| =|3-(3+x)|(因为3+x<0) =|-x|=-x.解因为abc≠0,所以a≠0,b≠0,c≠0. (1)当a,
5、b,c均大于零时,原式=3; (2)当a,b,c均小于零时,原式=-3; (3)当a,b,c中有两个大于零,一个小于零时,原式=1; (4)当a,b,c中有两个小于零,一个大于零时,原式=-1. 说明本例的解法是采取把a,b,c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用.例5若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值.解因为|x-y|≥0,所以y-x≥0,y≥x.由|x|=3,|y|=2可知,x<0,即x=-3. (1)当y=2时,x+y=-1; (2)当y=-2时,x+
6、y=-5. 所以x+y的值为-1或-5.
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