2、关系I直线与圆的位置关系S相切弧长公式及扇形面积公式SnjtR弧长公式：1=〒莎2扇形面积公式：整合拓展创新归类资源夯基提能◎类型之一圆的基本性质例1如图3-T-l,AB是<30的弦，0B=2,ZB=30°,C是弦AB±任意一点（不与点A,B重合），连接CO并延长交于点D,连接AD.图3-T-1⑴眩长AB等于（结果保留根号）；（2）当ZD=20°吋，求ZBOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A,C,D为顶点的三角形与以B,C,O为顶点的三角形相似？［解析］⑴过点0作0E丄AB于点E,根据ZB=30°,
3、0B=2,可得BE=£,由垂径定理知AB=2迈；(2)连接AO,利用半径相等，可得ZBAD=ZBAO+ZDAO=50°；⑶由ZBC0是厶ADC的外角，可知ZBCOHZCAD,ZBCOHZD,只有ZBCO=ZACD,即ZBCO=ZACD=90°,由ZB=30°,得ZBOD=120°,由圆周角知ZCAD=60°,可得△DACs/XBOC,AC=
4、aB=V3.解：(1)2^3(2)如图3-T-2,连接OA.图3-T-2VOA=OB,OA=OD,AZBAO=ZB,ZDAO=ZD,・•・ZDAB=ZBAO+ZDAO=
5、ZB+ZD.又VZB=30°,ZD=20°,.•.ZDAB=50°.AZBOD=2ZDAB=100°.(3)VZBCO=ZA+ZD,・*.ZBCO>ZA,ZBCO>ZD,・・・要使ADAC与厶BOC相似，只能ZDCA=ZBCO=90°.此时ZBOC=60°,ZBOD=120°,・,.ZDAC=60°.AADAC^ABOC.VZBCO=90°,艮卩OC丄AB,AC=*AB=*/5.故当AC的长为筋时，以A,C,D为顶点的三角形与以B,C,O为顶点的三角形相似.［点评］圆小的圆周角定理、垂径定理在与圆有关的证
6、明、计算题中经常出现，要牢固掌◎类型Z二直线与圆的综合应用例2己知AABC内接于00,过点A作直线EF.⑴如图3—T—3①所示，AB为直径，要使EF是OO的切线，还需添加的条件是(只需写出三种情况)：①或②或③;(2)如图3-T-3②所示，AB为非直径的眩，ZCAE=ZB,那么EF是。0的切线吗？为什么？图3-T-3［解析］⑴问中的答案不唯一，只要所补充的条件能使AB丄EF即可.如:ZBAF=90°,ZBAF=ZC,ZEAB=ZFAB等均可.（2）问的关键是要判断直线EF与过点A的直径是否垂直，故作过点A的
7、直径AM.这时问题就转化成判断ZCAE与ZCAM是否互余，结合ZCAE=ZB,故连接CM,运用ZM=ZB将问题转化为判断ZM与ZCAM是否互余，而后者是显然的.判断直线和圆是否相切，只需看直线是否满足如下两个条件：①经过直径的一端；②垂直于这条直径.本题（2）问中EF已经过直径的一端（圆上的一点必定是某条直径的一个端点）,故构造直径，然后判断直线EF是否满足第二个条件（即EF是否与AM垂直）.解：（1）AB丄EFZB=ZCAEZEAC+ZCAB=90°（答案不唯一）（2）EF是OO的切线.理由如下：连接A0
8、并延长交OO于点M,连接CM,则ZM=ZB.VAM是G>0的直径，/.ZACM=90°,.ZCAM+ZM=90°,即ZCAM+ZB=90°.TZB=ZCAE,・・・ZCAM+ZCAE=90°.AMA1EF.VMA是G>0的直径，/.EF是的切线.◎类型之三与圆有关的计算例3［昆明中考］如图3-T-4,在厶ABC中，ZABC=90°,D是边AC上的一点，连接BD,使ZA=2Z1,E是BC±的一点，以BE为直径的OO经过点D.（1）求证：AC是O0的切线；（2）若ZA=60°,（DO的半径为2,求阴影部分的面
9、积.（结果保留根号和兀）图3-T-4脱朋;也性躺综合飙［解析］⑴连接0D,求出ZA=ZDOC,推出ZODC=90°，根据切线的判定推出即可・（2）显然Sh?;=Saocd—S扇形ODE，故只需求出Saodc及S秦形ODE，即可求出阴影部分的面积.解：（1）证明：如图3-T-5,连接0D.图3-T-5VOB=OD,AZ1=Z2,AZDOC=2Z1.VZA=2Z1,・・・ZA=ZDOC.VZABC=90°,/.ZA+
