资源描述：
《5、解竞赛题的思想和方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、解竞赛题的思想和方法数学竞赛也就是解题的竞赛，只有通过问题才能学会解题。要提高解题能力，必须反复练习,在解各类题中，善于总结，不仅要寻找各种不同的解法，更要找出最佳的方法，应当注意数学的思想与数学的美，不断提高我们的鉴赏能力，注意简捷明快，一针见血。本讲中，我们选编了国内外一些值得欣赏的竞赛题，有些题多给几种解法，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试，以展现思维的过程，并且以资比较，尽力寻求完美的解法。希望参加数学竞赛的学生们多掌握些解题的思考方法，对数学的认识深度就会有所提高，随之而来，解题能力的增
2、强就会有所突破，也就可能在各类数学竞赛中大显身手。一、典型例题解析例崂已知x,y,z>0且vy2-Fyz+z2=3,②z2+zx+%2=4,求兀+y+z的值.分析常见的思路是求三元二次方程组的正实数解，常规方法是消元、降次，尝试会遇到困难，关键是如何产生一次方程，联想到方程左边式子的特点，可通过因式分解来实现.解法崂由①得，兀3_y3=(X—y)(%2+xy+y2)=^―y由②得y3—z3=3(y—z).由③得z3-x3=4(z-x).以上三式相加，得z=3x—2y,代入②，得与①联立，解得2x(x-
3、2y)=0a但x>0,故得x=2y,从而可解得解法2令s=%+y+z.②■①并因式分解，得/.x+y+z=(z-x)(x+y+z)=1，213二z—兀=—,同理得x_y=—，z_y=—■sss!1!®H©O,并配方得(兀+y+zF+
4、[(x-y)2+(y—z)2+(z-x)2]=8血七2lz194、。则有s+”(p+p+p)=8,2sss即/-8?+7=0-解得s=±1,s=±a/7■又由①知$=x+y+z>1,「.$=J7・可解得兀=上述两种解法是纯数的，若用数形结合的思想，有解法3由余弦定理，得%
5、2+y2=%2+y1-2xycosl20°=12-y2+yz+z2=y2+z2-2yzcosl20°=(V3)2.z2+zx+x2=z2+x2—2zxcosl20°=22»使我们想到构造三角形・作RtAABC.使43=1,30=語,4(7=2・在三角形内取点P,使ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°-由余弦定理知，PA=x,PB=y,PC=z是原方程组的一组解.将AAPC绕C点旋转60°,得AA'PC,易证AJP,P,B共线，则x+y+z=PA+PB+PC=ArBu在RtMBC中，有A'B=jAfC
6、2+BC2=y/AC2+BC2=V7.说明数学中的同一个数学形式表示式可以作不同的语义解释，同一种数学语义的内容可以用不同的数学语言形式来表示■数形结合的思想方法的实质是通过同一数学对象进行代数释义与几何释义的互补，实现“数”解释为“形”的语义转换，将“形”解释为“数”，利用“数”的知识解决“形”的问题；将“数”解释为“形”，利用“形”的知识解决“数”的问题.本例的解法3中，我们把方程组转化成直角三角形后，原来隐含的条件逐渐显示出来，犹如居高观景，对问题的解决有更多的方法.解法/借助于三角形面积关系得
7、：S/XAPB+S'BPC+Saapc=SaabC'nxy+yz+zx=2.由已知三式相加，得2(/++z?)+(xy+yz+zx)=8a/.x2+y2+z2=3-又(兀+y+z)2=x2++z2+2(xy+yz+zx)=3+2x2=7,:.x+y+z=J7■解法⑺(构造复数法)在平面上，设A,B,C三点对应的复数分别为勺=2；Zb=0,Zc=V3,取点戶使ZAPB=ZBPC=ACPA=120°.记q=cos120。+zsin120°=--+^z«22有兀+y+z=PA+PB+PC=zA—Zp+
8、zB—Zp+zc—Zp=1(z^—Zp)co+ZB—Zp+{zc-zp'co1I=
9、(zA-zp)^)+(zB-Zp)+(zc-zp)^2IQ同向共线》2=l(zA^+zB+zc^))1说明本题还可以建立直角坐标系，用解析法，又可以利用图形关系，应用向量法等.例2求函数的最大值・分析和解函数心的结构复杂，无法用常规方法解，扌巴问题由抽象向具体转化，以使其中数量关系更容易把握：由f>U%根式我们会联想到距离，问题的关键是两个根式内的被开方式能否化成平方和的形式，通过变形得/（%）=丿（兀2
10、_2）2+（兀_3）2-7（X2-1）2+X2问题就转化为：求点P（x,F）到点A（3,2）与点进一步将其直观具体化（如图），由A,B的位置知直线必交抛物线尸F于第二象限的一点C.由三角形两边之差小于第三边知，P位于C时，/(劝才能取得最大值，且最大值就是
11、AB
12、,故/(QmoxWAB
13、=VW.说明上述分析过程的关键是将问题通过几何直观，转化为具体的形，“形”使我们把握住了例2图2/⑴的变化情况.类似地，可考虑下面的问题：若“严屿，求注勺最3—cos0大
