用数形结合的方法解竞赛题

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1、6中等数学用数形结合的方法解竞赛题．宋强，(天津市红桥区佳庆里27门303。300134)中图分类号：0142文献标识码：A文章编号：1005—6416(2012)04一OOO6—07(本讲适合高中)J数形结合是一种重要的数学思想，是指从原题构件出发，通过对题设表达式变形构造出相应的几何图形，进而直观地反映出原题条件，最终使问题获解．一般说来，数形结合所涉及的知识并不难．难点往往在于寻找转化问题的关键所在．_／一32—10／1N234或最佳方法．一。J＼本文通过实例作一介绍．一2＼3+2v．_5=，、一3／2k1构造直线系v一一了一k3x+2y+7-O例1

2、已知实数、Y满足图l3l+lI+2ly一1l≤6．①【评注】此解将平面上的点与不等式的则2一3y的最大值是一⋯解组(，Y)建立一一对应关系，使解题思路(2010，全国高中数学联赛四川省预赛)简洁明了．【分析】通过对不等式①中+1、Y—l例2二元函数正负性的讨论知满足不等式①的点(x，Y)，Y)在直角坐标系中的四条直线所围区域中．=厨++(≤1)解如图1，不等式①所确定的图形是的最小值为——-．四条直线所围成的~：TABCD及其内部，其中，【分析If(，Y)中的每个二次根式都可(一l，4)，B(1，1)，以看作两点间的距离公式．C(一1，一2)，o(-3，1

3、)．解女Ⅱ图2，设A(，0)(≤一1)，8(0，Y)，作直线系2一3y=k，即c(1，-3．)，D(1，2)．则2k’Y一了，，Y)=lABl+IACI十IBDI=^(1ABI+lBD1)+IACI其在z=TABCD最低点c有最小截距一÷．J≥lADI+IACI。故当=一l，Y=一2时，2一3)，取最大当且仅当A、、D三点共线，即值4．’，22x高Y收稿日期：2012—02—102012年第4期7JlY2。B／D．／／34P／／／／；21B。A／L／／．—一2IN012O＼＼_·1—2--3＼．1-4—2--3l璺l2故原不等式等价于时，上式等号成立．由图

4、像知』(x-3)专<1，【y2：3．IADI≥IA0DI=2，所以，原不等式的解集为IACI≥IAoCI_13．{x13一,f<<3+}．故，Y)≥2+．例4设函数当=一l，Y=1时，上式等号成立．【评注】本解利用两点间的距离公式，其=~／—10-6—cosx+一⋯关键在于选取恰当的点，进而减少计算量．√2一2构造二次曲线√．一-g‘--cos一—2simn．则，()的最小值为例3不等式解注意到，一2<2—2+4一2—10x+28<2)=~／(COS一3)+sin+的解集为一(2006，全国高中数学联赛黑龙江省预+一竽)+赛)解原不等式即为+(s-1)．I

5、了一I<2．令3=Y．则不等式化为如设(0，)，cz)，I丽一研I<2．①P(COS，sin0)．由双曲线定义，知满足不等式①的点于是，0)=IPAI+IPBI+IPCI，其中，点P在0D(+，，=1)上．(戈，Y)在双曲线(一3)一}=l因为oD-~AB切于点D(1，竽)，且J的两支之间的区域内(如图3)．8中等数学时，式①等号成立．l’，例6已知集合Br一M=y)l，，≥}}，一l＼0／123Ⅳ=y)I，，≤一机+7)'．．JD，(‰，Yo)={(x,y)I(x一‰)+(y—yo)≤r2}．图4试求最大的r，使得Xo，Yo)CMnN．IPCI≥lDCI

6、．IPAI+IPBI≥lABI．(2010，第一届陈省身杯全国高中数学奥林匹克)则lPAl+IPBl+IPCl≥lABI+lDCl解显然，肘nⅣ≠f2j．=竽+一-)=3．1，如图6，在平面直角坐标系中，当且仅当点P与D重合时，上式等号成立．Y‘，Y一÷‘+¨+77例5设实数x,y满足3x+4y2=48．则的顶点分别为o(o，0)，A(2，8)，且两条抛物+)，2—4x+4++一2x++5线关于点8(1，4)对称．的最大值为一y(2011，全国高中数学联赛福建赛区预．A赛)／7、＼解注意到，一4x一2x+4ys毒卧7=~／(一2)++~／(戈一1)+(Y+

7、2)，且点P(，，，)在椭圆+=1上．．-4—3—2一l01234567如图5，设椭圆I二y图6左、右焦点为(一2，P∈～从而，Mr3N在直角坐标系中所对应的0)，(2，0)，长轴长图形以点B为中心对称，且所包含的最大为2口．取椭圆内点半径的圆应为的内切圆．B(1，一2)．下面证明：该圆的圆心为．则所求式图5否则，设该圆圆心为B。，半径为r．=II+IPBI取点关于的对称点日．则以为：2a—IPF1I+IPBI≤2口．hIBFll圆心、r为半径的圆也是的内切圆．作两圆的外公切线．=8+，①因为是凸的，所以，上述两条外公切线当且仅当P为射线BF与椭圆的交点，

8、即及两圆所围区域在的内部．+12l’f：T-32-36~i~，从而