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1、解数学竞赛题的若干思想方法元济高级中学张金良求解高水平的数学竞赛题通常不能直接套用现成的公式，需在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识进行探索与尝试，选择与组合，这当种包括我们经常使用的待定系数法、换元法、配方法、数学归纳法等等，然而在解决某些数学竞赛题时高层次的解题技巧，本文试图介绍一些已有的数学竞赛解题思想与技巧。一、构造法例1．已知f（x）=x2+ax+b，-1≤x≤1，若
2、f（x）
3、的最大值是M．证明：M≥．分析：构造等式例2．设x、y、z,a、b、c是正实数，且满足x+a=1,y+b=1,z+c=1，求证：xc+ya+zc<1
4、分析：构造几何模型例3．设x,y,z,证明x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.分析：构造函数例4．.一无穷等差数列的各项都是正整数，已知其中的第一项是完全平方数，求证这个数列有无限多项是完全平方数。二、递推法例5．用五种不同的颜色的去染五棱锥的六个顶点，若任何两个顶点的颜色不同，则有几种不同的染法？例6．已知，求三、特殊化例7．△ABC三个顶点A，B，C与平面α的距离分别为a,b,c，那么其重心到平面α的距离为（ ）（A） （B） （C） （D）例8．将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形
5、的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。四、一般化例9．这是一个计算机程序的操作说明：①①初始值x=1,y=1,z=0,n=0;②②n=n+1(将当前n+1的值赋予新的n)③③x=x+2(将当前x+2的值赋予新的x)④④y=2y(将当前2y的值赋予新的y)⑤⑤z=z+xy(将当前z+xy的值赋予新的z)⑥⑥如果z>7000，则执行语句⑦，否则回语句②继续进行⑦⑦打印⑧⑧程序终止⑨由语句⑦打印的数值是什么？例10.在很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成角，速度为2.5km
6、/h,同时岸上有一人，从同一地点开始追赶赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h,在水中游的速度为2km/h，问此人能否追上小船；若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？五、配对例10．设计算。例11．设正整数的不同正同数的个数为，试确定和是奇数还是偶数例12．计算和式六、赋值例13．在区间内任意插入n个分点，形成n+1个子区间，子区间的两个端点分别是有理点、无理点称为好区间。证明存在好区间且好区间的个数为奇数个。例14．n盒火柴摆成一圈，作如下调整：若连续相邻的4盒火柴根数之和为奇数，则从每盒中取出一根；否则每盒火柴加进一根火柴，
7、如果每连续相邻4盒火柴均恰好作一次这样的调整后，n盒火柴总根数不变，求证：n是4的倍数。七、极端例15．中国足球甲A联赛共有12个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制，即任可两个球队分别在主场和客场各比一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负一场得0分，在联赛结束后按积分高低排出名次。求在积分榜上位次相邻的两支球队积分差距最多可达多少分。八、染色 例16． 对平面上一个点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种.证明:平面内存在端点同色的单位线段.分析：作出一个如图29-7的几何图形是可能的,其中△ABD、△CBD、△AEF、△GEF都是边长
8、为1的等边三角形，CG=1.不妨设A点是红色，如果B、E、D、F中有红色，问题显然得证.当B、E、D、F都为蓝点或黄点时，又如果B和D或E和F同色，问题也得证.现设B和D异色E和F异色,在这种情况下,如果C或G为黄色或蓝点,则CB、CD、GE、GF中有两条是端点同色的单位线段，问题也得证.不然的话,C、G均为红点，这时CG是端点同色的单位线段.证毕.（例17．（首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.分析：先利用右图证明＂若平面上有两个异色的点距离为２，地
9、么必定可以找到符合题意的三角形＂．再找长为２端点异色的线段．以Ｏ（白色）为圆心，４为半径作圆．如圆内皆白点，问题已证．否则圆内有一黑点Ｐ，以ＯＰ为底作腰长为２的三角形ＯＰＲ，则Ｒ至少与Ｏ、Ｐ中一点异色，这样的线段找到．九、奇偶分析例18．设，且G具有下列两条性质⑴对任何⑵试证明G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数字的平方和为一定值。例19．．设，都是正整数，且，试证明当且仅当为偶数时，可以适当选取“+”号和“一”号使得十、整体处理例20．一张正方形的纸被一条直线分成两部分，其中一部分再被一条直线分成两部分，再把三块之一被一条直线分成两部分
10、，如此下去，最后得了19个96边形和其他一些多边形，则最少要切割多少次。十一、计算两次例21．设正整数n,m,n>m.证明例22．试证明每一个册n边形中，总有一条对
