初等代数研究课后习题答案完整版余 元希

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1、初等代数研究课后习题完整版1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性,即(1)对任何,当且仅当时,.(2))对任何,在,,中有且只有一个成立.证明:对任何,设,(1)“”,则,使,,“”,则,使,,综上对任何,(2)由(1)与不可能同时成立,假设与同时成立,则,使且,与B为有限集矛盾,与不可能同时成立,综上,对任何,在,,中有且只有一个成立..2、证明自然数的加法满足交换律.证明:对任何设M为使等式成立的所有b组成的集合先证,设满足此式的组成集合k,显然有1+1=1+1成立,设,,则,,取定,则,设,则对任何,3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明:唯一性:取定,反证:假设至少有两个对应关

2、系,对,有,设是由使成立的所有的组成的集合,设则,,即,乘法是唯一的存在性:设乘法存在的所有组成集合当时,,,设,,有与它对应,且,,对,令即乘法存在p24—5、解:满足条件的有,,,,,,基数和为p24—6、证明:,中的与中的对应,p24—8、证明:1)3+4=72)p24—12、证明:1)2)p26—36、已知对任何满足求证:1)2)3)证明:1)当时,结论成立,假设时,结论成立,即,当时,所以对一切自然数结论都成立2)当时,结论成立假设时,结论成立,即当时,所以对一切自然数结论都成立3)当时,结论成立假设时,结论成立,即当时,所以对一切自然数结论都成立p62—1、证明定理2.1证明

3、:,因为自然数加法满足交换律而,以为自然数满足加法结合律即整数加法满足交换律和结合律p62—2、已知,求证的充要条件是证明:“”已知则“”已知则,p62—4、已知,求证证明:p62—5、已知,求证证明:左边右边所以左边等于右边p62—7、已知,求证当且仅当时证明:“”已知,因为是负数,“”已知则因为是负数,p62—9、已知,求证:1),2)证明:设1)而2)而p63—12、名棋手每两个比赛一次,没有平局,若第名胜负的次数各为,,求证:证明:对于,必存在一个使得p63—16、已知,,求证证明:由已知:使,p63—17、设2不整除,求证证明:因为2不整除,所以存在唯一一对,使,其中,p63—

4、20、设,求证是奇数的平方证明:肯定一奇一偶肯定为偶数肯定为奇数p63—22、证明:前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明:前n个自然数的和为因为:n个自然数的和仍为自然数1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n与n的个位数码只能是1,4或4,1而(1+n)-n=1个位数码不能为2若个位数码为4则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7则1+n与n的个位数码有2种可能,则2,7或1,14也不可能成立,若个位数码为9则1+n与n的个位数码有2种可能,即2,9或1,18也不可能成立,综上,前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p6

5、3—26、证明2.3定理1()=()证明:因为:()是的公因数中的最大数所以R需考虑非负整数()=()p63—29、证明2.3定理4的推论的充要条件是有使得证明:因为不全为0“”由定理4使“”设则,p63—30、证明2.3定理6及其推论。定理6:若,则证明:若都为0,则显然成立若不全为零,则使而因为,而推论:设是的公因数,则的充要条件是证明:“”是的公因数“”因为,使,使p64—32、证明2.3定理七及其推论定理七:若,,中至少有一个不为0,则证明:中至少有一个不为0使因为因为推论:若,,则证明:因为,不为零p64—33、已知是奇数,,求证证明:因为,因为是奇数,p64—36、已知,求证

6、证明:p64—40、已知,求证中的倍数的个数等于证明:当时,结论成立,当时,,令,,则可改写为因为所以其中一定包括都是的倍数,共有个p64—42、已知是异于3的奇素数,求证证明:是异于3的奇素数,为偶数,其中都为合数,且都大于3都可被2、3中的一个整除,若,则由,因为p64—44、已知整数都大于1,是素数,求证且是素数证明:反证不是素数当时不是素数与已知矛盾,所以是素数p64—45、求不大于50的一切素数解:平方不大于50的素数是2,3,5,7则不大于50的一切素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47p64—46、求下列各数的标准分解式:1)8

7、2798848解:82798848=p64—49、已知整数都大于1,求证证明:p66—69、已知是奇素数,求证1)2)证明:1)因为,,…因为2),,…p66—70、设是相异素数,求证证明:,,同理即p66—72、已知是素数,,求证证明:因为是素数,所以因为p66—73、计算解:66150的标准分解式为p66—74、已知整数,求证证明:设的标准分解式为,其中为素数,若显然,当时,一定且为偶数,综上所述时

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