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1、初等代数研究课后习题20071115033数学院07（1）杨明1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即（1）对任何，当且仅当时，.（2））对任何，在，，中有且只有一个成立.证明：对任何，设，（1）“”，则,使，,“”，则,使，,综上对任何，（2）由（1）与不可能同时成立，假设与同时成立，则,使且，与B为有限集矛盾，与不可能同时成立，综上，对任何，在，，中有且只有一个成立..2、证明自然数的加法满足交换律.证明：对任何设M为使等式成立的所有b组成的集合先证，设满足此式的组成集合k，显然有1+1=1+1成立，设，，则
2、，，取定，则，设，则对任何，3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定，反证：假设至少有两个对应关系，对，有，设是由使成立的所有的组成的集合，设则，，即，乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有组成集合当时，，，设，，有与它对应，且，，对，令即乘法存在p24—5、解：满足条件的有，，，，，，基数和为p24—6、证明：，中的与中的对应，p24—8、证明：1）3+4=72）p24—12、证明：1）2）p26—36、已知对任何满足求证：1）2）3）证明：1)当时，结论成立，假设时，结论成立，即，当时，所以对一切自然数结论
3、都成立2）当时，结论成立假设时，结论成立，即当时，所以对一切自然数结论都成立3）当时，结论成立假设时，结论成立，即当时，所以对一切自然数结论都成立p62—1、证明定理2.1证明：，因为自然数加法满足交换律而，以为自然数满足加法结合律即整数加法满足交换律和结合律p62—2、已知，求证的充要条件是证明：“”已知则“”已知则，p62—4、已知，求证证明：p62—5、已知，求证证明：左边右边所以左边等于右边p62—7、已知，求证当且仅当时证明：“”已知，因为是负数，“”已知则因为是负数，p62—9、已知，求证：1），2）证明：
4、设1）而2）而p63—12、名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第名胜负的次数各为，，求证：证明：对于，必存在一个使得p63—16、已知，，求证证明：由已知：使，p63—17、设2不整除，求证证明：因为2不整除，所以存在唯一一对，使，其中，p63—20、设，求证是奇数的平方证明：肯定一奇一偶肯定为偶数肯定为奇数p63—22、证明：前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明：前n个自然数的和为因为：n个自然数的和仍为自然数1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n与n的个位数码只能是1,4或4,1而
5、（1+n）-n=1个位数码不能为2若个位数码为4则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7则1+n与n的个位数码有2种可能，则2,7或1,14也不可能成立，若个位数码为9则1+n与n的个位数码有2种可能，即2,9或1,18也不可能成立，综上，前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p63—26、证明2.3定理1（）=（）证明：因为：（）是的公因数中的最大数所以R需考虑非负整数（）=（）p63—29、证明2.3定理4的推论的充要条件是有使得证明：因为不全为0“”由定理4使“”设则，p63—3
6、0、证明2.3定理6及其推论。定理6：若，则证明：若都为0，则显然成立若不全为零，则使而因为，而推论：设是的公因数，则的充要条件是证明：“”是的公因数“”因为，使，使p64—32、证明2.3定理七及其推论定理七：若，，中至少有一个不为0，则证明：中至少有一个不为0使因为因为推论：若，，则证明：因为，不为零p64—33、已知是奇数，，求证证明：因为，因为是奇数，p64—36、已知，求证证明：p64—40、已知，求证中的倍数的个数等于证明：当时，结论成立，当时，，令，，则可改写为因为所以其中一定包括都是的倍数，共有个p64
7、—42、已知是异于3的奇素数，求证证明：是异于3的奇素数，为偶数，其中都为合数，且都大于3都可被2、3中的一个整除，若，则由，因为p64—44、已知整数都大于1，是素数，求证且是素数证明：反证不是素数当时不是素数与已知矛盾，所以是素数p64—45、求不大于50的一切素数解：平方不大于50的素数是2,3,5,7则不大于50的一切素数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47p64—46、求下列各数的标准分解式：1）82798848解：82798848=p64—49、已知整数都大于1，
8、求证证明：p66—69、已知是奇素数，求证1）2）证明：1）因为，，…因为2），，…p66—70、设是相异素数，求证证明：，，同理即p66—72、已知是素数，，求证证明：因为是素数，所以因为p66—73、计算解：66150的标准分解式为p66—74、已知整数，求证证明：设的标准分解式为，其中为素数，若显然，当时，一定且为偶数，综上
